Pythagoras' læresetning og vinkelberegning

De fleste har nok hørt sin matematikklærer fortelle remsen "a i andre pluss b i andre er lik c i andre". Men hva er det egentlig helt konkret det betyr?

Remsen kalles Pytagoras' læresetning, og den forteller hvordan det er en sammenheng mellom sidene i en rettvinklet trekant. Pytagoras' læresetning utgjør altså en oppskrift på hvordan vi finner lengden av én side i en trekant hvis vi kjenner lengdene av de to andre sidene, og hvis vi vet at trekanten er rettvinklet.

Selv om trekanten ikke er rettvinklet, kan vi faktisk benytte oss av Pytagoras læresetning. Enhver trekant kan nemlig inndeles i rettvinklede trekanter ved hjelp av en hjelpelinje.

Geo (2)

For å kunne regne på trekanter, må man også vite noe om vinkler. Man må f.eks. vite at hvis to linjer danner et kryss, så vil de to vinklene som står ovenfor hverandre være like store. Denne egenskapen kan ses på tegningen nedenfor.

Kryds (1)

Her kan vi se at vinkel A og vinkel B som står ovenfor hverandre er \(43^{\circ}\), mens vinkel C og D som står ovenfor hverandre er \(137^{\circ}\).

Denne informasjonen rundt trekanter og vinkler er veldig nyttig innenfor tømrerfaget. Uansett om man skal bygge hele skjelettet til et hus eller bare legge et tak, kan man ikke unngå å støte inn i trekanter.

Nedenfor gjennomgår vi noen eksempler på hvordan Pytagoras' læresetning og vinklenes egenskaper kan benyttes direkte i en tømrers jobb.

Eksempler

1: Takkonstruksjoner

For å lage et skrått tak på et hus, bygger man ofte noen A-lignende konstruksjoner som skal være under taket for å støtte det. Disse konstruksjonene kalles for taksperrer , og arbeidet med å bygge disse taksperrene utføres av en tømrer. I dette eksempelet har en tømrer fått i oppgave å bygge taksperrene til et hus med skrått tak. Tømreren har fått utlevert følgende tegning:

Spær (1)

De gule trebjelkene som til sammen utgjør en trekant, er den omtalte taksperren. Tømreren vet altså at huset er 4,3 meter bredt, samt at det fra husets loft til taket skal være 1,5 meter. Han skal nå beregne hvor lange de bjelkene som utgjør den skrå delen av taksperren skal være.

Fremgangsmåte:
Trekanten som utgjøres av taksperrens bjelker, er ikke en rettvinklet trekant. Derfor bruker man den blå hjelpelinjen, som angir avstanden mellom husets loft og takets spiss. Den inndeler trekanten i to rettvinklete trekanter, så det er mulig å bruke Pytagoras' læresetning til å løse oppgaven. For helt presist å se hvordan Pytagoras' læresetning skal brukes her, skjærer vi den ene av de to rettvinklede trekantene ut, og navngir dens sider med de velkjente \(a\), \(b\) og \(c\).

Trekant (2)

Hvis vi kan finne ut av hvor lange \(a\) og \(b\) er, kan vi også regne ut hvor lang \(c\) er, og dermed hvor lang den skrå bjelken må være. Fra tegningen av huset fremgår det, at \(a=1,5m\). Lengden av \(b\) blir faktisk også avslørt i tegningen av huset, da den bare er halvdelen av bredden til huset. Altså er

$$b=\frac{4,3m}{2}=2,15m.$$

I følge phytagoras læresetning gjelder det at
$$a^2+b^2=c^2.$$

Hvis vi erstatter \(a\) og \(b\) med de tallene vi har beregnet dem til, får vi følgende uttrykk:
$$(1,5)^2+(2,15)^2=c^2.$$

Det eneste vi skal være oppmerksomme på her, er at den ukjente i dette tilfellet heter \(c\) og ikke \(x\), som vi ellers er vandt til. For å finne den verdien av \(c\) som løser ligningen, må vi fjerne det \(2\)-tallet som \(c\)'en er oppløftet i. Dette gjøres ved å anvende den "motsatte" funksjon på begge sider av likhetstegninget. Den motsatt funksjonen av "oppløftet i 2." er kvadratroten. 
Dermed får vi at: 
$$\sqrt{(1,5)^2+(2,15)^2}=\sqrt{c^2}.$$

Nå kan vi se at kvadratroten og 2-tallet som \(c\) er oppløftet i, går ut med hverandre på høyre side av likhetstegnet. Da har vi igjen:
$$\sqrt{(1,5)^2+(2,15)^2}=c.$$

Vi kan regne ut hva den venstre siden av likhetstegnet er, ved f.eks. å bruke en lommeregner. Ligningens venstre side gir:
$$\sqrt{(1,5)^2+(2,15)^2}=2,62.$$

Derfor er
$$c=2,62$$

Det vil si at hvis huset er 4,3 meter bredt, og det skal være 1,5 meter fra husets loft til takets spiss, så skal de bjelkene som utgjør den skrå delen av taket være 2,62 meter lange hver.

2: Vinkelberegning

En tømrer blir satt til å skulle bygge rammen til et inngangsparti til en hage. Rammen skal lages i tre, og den ferdige rammen skal se ut som på bildet under.

Vinkler

Tømreren ønsker nå å finne ut av hvordan han finner den riktige vinkelen som de skrå støtteplankene skal sages med.

Brædde (3)

Fremgangsmåte:
Tømreren skal nå bruke sin kunnskap om vinkler i en trekant for å beregne den riktige vinkelen å sage planken i. Hvis vi zoomer litt inn på hjørnet av konstruksjonen, kan vi få et nærmere innblikk i hvilken konkret trekant det er snakk om.

Zoom
Det er blitt opplyst at de skrå plankene skal sitte slik at de to røde vinklene er like. Denne opplysningen er nyttig for tømreren når han skal beregne den grønne vinkelen. Først skal vi beregne den røde vinkelen. Til dette kan vi benytte vår kunnskap om vinkler i en trekant. Det skal nemlig gjelde at summen av de to røde vinklene er den tredje vinkelen i en rett vinkel, dvs en vinkel på \(90^{\circ}\). Da summen av vinklene må gi \(180^{\circ}\), skal de to røde vinklene til sammen utgjøre:

$$180^{\circ}- 90^{\circ}= 90^{\circ}.$$

Ettersom de er like store, skal altså hver av dem være:
$$\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}.$$

Vi kan nå beregne den grønne vinkelen, som er den vinkelen tømreren ønsker å finne. Dette kan gjøres ved å benytte at når to linjer danner et kryss, så er de to vinklene som står ovenfor hverandre like store. Da vi akkurat har beregnet den røde vinkelen til å være \(45^{\circ}\), må den grønne vinklen derfor også være \(45^{\circ}\). Det vil si, at tømreren skal sage brettet med en vinkel på \(45^{\circ}\).

Har du et spørsmål, du vil stille om Pythagoras' læresetning og vinkelberegning? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!