Rette vinkler og Pythagoras

Hvis en tømrer ved en feil skrur et brett skjevt på en konstruksjon, kan han forholdsvis lett skrue det opp igjen og rette det opp igjen. Hvis derimot en murer kommer til å mure en hel mur skjev, krever det ofte et enormt stykke arbeid å rive muren ned, for deretter å bygge den opp igjen. Derfor er det viktig at man innenfor murerfaget benytter seg av noen viktige teknikker, som kan sikre at de murene som man bygger har de riktige vinklene hele veien gjennom muringsprosessen.

Hvis en murer gjerne vil bygge en mur som står rettvinklet på en annen mur, som allerede er bygget, hvordan kan han så sikre seg at den nye muren danner en 90 graders vinkel, og blir murt ut i fra akkurat denne vinkelen?

Wall -286297_960_720 (1)

Det første man kan tenke seg er at man bruker en vinkelmåler til å måle opp en vinkel på 90 \(^{\circ}\) ut fra den nye muren som allerede står der og så lage en siktelinje (med tape, snor, kritt eller lignende), som den nye muren skal mures etter. Problemet med denne fremgangsmåten er at hvis man måler vinkelen som skulle være 90 \(^{\circ}\) feil, f.eks til 94 \(^{\circ}\), så blir den nye muren skjev. Jo lengre den nye muren skal være, jo mer blir muren påvirket av den lille oppmålingsfeilen, som vist på bildet under.

Mur (3)

Tegningen forestiller situasjonen sett ovenfra. Den blå vannrette linjen er den opprinnelige muren, mens den andre blå linjen er den nye muren som skal bygges. Hvis mureren ved en feil har målt opp en vinkel på 94 \(^{\circ}\) i stedet for 90\(^{\circ}\), blir den nye muren skjev i forhold til hvor den egentlig skulle vært (den røde stiplede linjen). Jo lengre den nye muren skal være, jo mer kommer den til å avvike fra den stiplede linjen.

Selv om mureren bruker en vinkelmåler til å måle opp den vinkelen som skal være 90 \(^{\circ}\), kan det lett skje at han måler feil. For å unngå at den nye muren blir skjev, kan han under byggingen gjøre bruk av den matematiske kunnskapen han har fra Pythagoras' læresetning.

Pythagoras' læresetning forteller, at i en rettvinklet trekant hvor \(a\), \(b\) og \(c\) betegner lengden av trekantens sider, så gjelder det at

$$a^2+b^2=c^2.$$

Trekant2

Men det er faktisk en annen formulering av Pythagoras' læresetning som mureren kan dra nytte av. Det gjelder nemlig også, at hvis en trekants sidelengder \(a\), \(b\) og \(c\), oppfyller at \(a^2+b^2=c^2\), så er trekanten en rettvinklet trekant. Mureren kan bruke dette ved å sette sammen den opprinnelige muren og den nye muren med en tverrgående linje, slik at det skapes en trekant bestående av den opprinnelige mur, den nye muren og den tverrgående linjen. Ved å måle hvor lange sidene i trekanten er, og sjekke om de oppfyller at \(a^2+b^2=c^2\), vet mureren om vinkelen mellom den opprinnelige muren og den nye muren er 90 \(^{\circ}\).

Mur2 (1)

Tegningen forestiller situationen sett ovenfra.

Eksempler

Eksempel 1:

En murer har fått i oppgave å bygge en mur ut fra en annen mur, som står der allerede, slik at murene danner en rett vinkel.

Mur -eksempel (1)

Tegningen forestiller situasjonen sett ovenfra. Mureren bruker en vinkelmåler til å måle hva hun mener er 90 \(^{\circ}\).
Etter å ha murt de første 3 metrene av den nye muren, stopper mureren opp, for å sjekke om vinkelen egentlig er 90 \(^{\circ}\), og om hun dermed er på rett kurs. Hun skaffer seg en bjelke som hun med sikkerhet vet er 5 meter lang. Denne bjelken legger hun slik, at den ene av bjelkens ender treffer der hvor hun har kommet med den nye muren og den andre enden av bjelken treffer 4 meter ut av den opprinnelige mur(se tegning nedenfor). Denne bjelken utgjør nå den tverrgående linjen som hun skal bruke til å sjekke om vinkelen er 90 \(^{\circ}\).

Mur -eksempel - Løsning

Tegningen forestiller situasjonen sett ovenfra. For at den grønne vinkelen er 90  \(^{\circ}\), skal det  følge Phytagoras' læresetning gjelde, at:

$$a^2+b^2=c^2,$$

noe som i dette tilfellet svarer til at det skal være:

$$3^2+4^2=5^2.$$

For å finne ut av om \(3^2+4^2\) er lik med \(5^2\), utregner vi dem hver for seg, og ser om det blir det samme.

$$3^2+4^2=(3\cdot3)+(4\cdot4)=9+16=25.$$

$$5^2=5\cdot5=25.$$

Da begge uttrykk gir det samme, vet vi at Phytagoras' læresetning er oppfylt, og vi kan derfor konkludere med at vinkelen faktisk er 90 \(^{\circ}\).
Mureren kan dermed rolig fortsette. Skulle mureren senere bli i tvil om hun kanskje er begynt å mure skjevt, kan hun foreta samme sjekk.

Eksempel 2:

Vi kikker igjen på eksempelet ovenfor med mureren som skal bygge en ny myr, slik at den står rettvinklet ut fra den andre muren som allerede er blitt bygget. Etter å ha murt de første tre metrene av den nye muren, stopper mureren opp for å sjekke om vinkelen egentlig er 90  \(^{\circ}\), og om hun dermed er på rett kurs. Hun anskaffer seg en bjelke, som hun vet er 5 meter lang. Denne bjelken legger hun slik, at den ene av bjelkens ender treffer der for hun har kommed med den nye muren og den andre enden av bjelken treffer 3,75 meter ut av den opprinnelige muren. Hun kan nå måle at bjelkens andre ende treffer 3,75 meter ut av den opprinnelige muren(se tegningen nedenfor). 

Mur -eksempel 2 - Løsning

Tegningen forestiller seg situasjonen sett ovenfra. For at den grønne vinkelen skal være \(90^{\circ}\), skal det i følge Phytagoras læresetning gjelde at

$$a^2+b^2=c^2,$$

hvilket i dette tilfellet svarer til, at det skal være

$$3^2+(3,75)^2=5^2.$$

For å finne ut av om \(3^2+3,75^2\) er lik med \(5^2\), utregner vi dem hver for seg, og ser om det gir det samme.

$$3^2+(3,75)^2=(3\cdot3)+(3,75\cdot3,75)=9+14,06=23,06.$$

$$5^2=5\cdot5=25.$$

Da de to uttrykkene ikke gir det samme, vet vi at Phytagoras' læresetning ikke er oppfylt, og vi kan derfor konkludere med at vinkelen ikke er 90 \(^{\circ}\). Mureren har derfor murt opp den nye muren skjevt, og hun blir nødt til å rive den ned og starte forfra igjen, hvis hun vil ha det ønskede resultatet. Heldigvis for mureren hadde hun ikke ferdiggjort den nye muren, men bare begynt på den før hun sjekket. Hadde hun murt den nye muren helt ferdig før hun sjekket, hadde arbeidet med å rette opp muren vært mye mer omfattende.

Har du et spørsmål, du vil stille om Rette vinkler og Pythagoras? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!