Vekstfart som grenseverdi

Vi har tidligere sett på den gjennomsnittlige vekstfarten til en graf, hvor vi fant vekstfarten ved å velge et tilfeldig intervall på grafen.

$$ f’(x_1) = \frac{(y_2 – y_1)}{(x_2 – x_1)} = \frac{(f(x_2) – f(x_1))}{(x_2 – x_1)}$$

I mange tilfeller kan du se at den gjennomsnittlige vekstfarten ikke helt stemmer med grafen, fordi grafen ofte er buet i det intervallet du valgte for å finne den gjennomsnittlige vekstfarten. For å nærme oss den korrekte vekstfarten til en graf må vi velge et mindre og mindre intervall. Vi kan da sette dette som en grenseverdi hvor intervallet vi velger, altså avstanden mellom mellom de to punktene \((x_1, f(x_1))\) og \(((x_1 + h)\), \(f(x_1 + h))\), h , går mot 0.


\[ f’(x_1) = \lim_{h \to 0} \frac{(f(x_1 + h)–f(x_1))}{((x_1 + h) – x_1)} = \lim_{h \to 0} \frac{((f(x_1 + h)–f(x_1))}{h} \]

Dette kalles for den deriverte av grafen f(x) 
Den deriverte til en graf, kan annoteres som en apostrof etter f ; f’(x) , eller som $$ \frac{df(x)}{dx}$$ (denne blir sjelden brukt på videregående nivå).

Eksempel:

$$f(x) = x^2+5x+3$$

Finn f’(1)

Løsning:

\[ f’(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(f(1+h)–f(1))}{h} \]
\[ f’(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(((1+h)^2+5(1+h)+3)–(1+5+3))}{h} \]
\[ f’(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2+2h+1+5+5h+3–9)}{h}\]
\[ f’(1) = \lim_{h \to 0} \frac{((h^2+2h+5h)}{h} \]
\[ f’(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h(h+2+5)}{h} \]
\[ f’(1) = \lim_{h \to 0} (h+7) \]
\[ f'(1) = 7 \]

Har du et spørsmål, du vil stille om Vekstfart som grenseverdi? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!