Optimering

Det er mulig å finne de optimale verdiene til en funksjon som beskriver et konkret fenomen, ved å foreta en funksjonsdrøfting. Dette gjelder alt fra den maksimale høyden steinkast, til å finne hvilket tidspunkt en butikk hadde mest omsetning.

Eksempel:

Herman kaster en stein fra et vindu 5 meter over bakken.
Funksjonen $$h(t) = -5t^2 + 10t + 5$$ beskriver banen til kastet.

a) Hvor høyt kommer steinen?
b) Når treffer steinen bakken?


Løsning:
a) Den maksimale høyden vil være et toppunkt på grafen. Vi kan derfor finne den ved å derivere funksjonen, og sette den deriverte lik 0.
$$ h’(t) = -10t + 10 $$
$$ -10t + 10 = 0 $$
$$ -10t = -10 $$
$$ t = 1 $$

Vi har nå funnet når steinen er høyest, og kan derfor finne høyde ved å finne h(1):
$$ h(1) = -5(1)^2 + 10(1) +5 $$
$$ h(1) = 10 $$

Den maksimale høyden til kastet er 10m.

b) Siden høyden til ballen vil være 0 når den treffer bakken kan vi sette:
$$ h(t) = -5t^2 + 10t + 5 = 0 $$
$$ -t^2 + 2t +1 = 0 $$
$$ t = \frac{-2\pm \sqrt{4-4(-1)(1)}}{2(-1)}$$
$$ t= (1+\sqrt{2})=2.41$$ eller $$t = (1-\sqrt{2})=-0.41$$

Vi er her bare interessert i verdier over 0, siden det beskriver et fysisk fenomen.
Steinen treffer altså bakken etter 2.41s.

Mer om optimering

Vi kan også bruke funksjonsdrøfting til å finne maksimal størrelse til geometriske figurer.
Dette finner vi ved å gjøre om den formelen vi kjenner for en geometrisk figur, og gjør den om til en funksjon.

Eksempel

Vi har en papplate som er \(70cm \cdot 90cm\) stor. Finn verdien for x som gir maksimalt volum av esken.

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 111119


Løsning:
Først lager vi en funksjon for volumet til esken:

Formelen for arealet av et rektangel er $$ A = g*l $$. Vi ser at arealet til det indre rektangelet er derfor gitt ved $$ A = (90-2x)*(70-2x) $$ og høyden til esken blir x.

Formelen for volumet av en eske er $$ V = A*h = g*l*h $$, og vi kan derfor sette at volumet til esken er gitt ved 

$$ V = (90-2x)*(70-2x)*x = 4x^3 – 320x^2 + 6300x $$ som vi kan gjøre til en funksjon av x:
$$ V(x) = 4x^3 – 320x^2 + 6300x $$

For å finne den verdien av x som gir maksimalt volum, trenger vi bare å finne toppunktet til V(x)
$$ V’(x) = 12x^2 – 640x + 6300 $$
$$ 12x^2 – 640x + 6300 = 0 $$
$$ x ≈ 13,02$$ eller $$x ≈ 40.31 $$

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 111127

Her ser vi at x-verdien 13,02 gir et toppunkt. Altså er det x = 13,02cm som gir det maksimale volumet til esken.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Optimering? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!