Monotoniegenskaper og ekstremalpunkt

Vi kan finne ut mye om en graf uten å tegne den. Hvis vi skal finne ekstremalpunktene til en graf, altså topp- og bunnpunkter, kan vi ta i bruk det vi har lært i derivering. Dette kommer av at stigningstallet til et ekstremalpunkt på en graf er 0. 
Vi kan dermed sette $$f’(x)=0$$ for å finne $$x$$-koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter på grafen. For å finne y-koordinatene til ekstremalpunktene setter vi ganske enkelt x-verdiene for punktene inn i grafen. $$ ( x_1, f(x_1) ) $$

Men vi må jo også finne ut om ekstremalpunktene vi har funnet er topp- eller bunnpunkter. Vi kan dermed se hvor grafen øker og hvor den synker. Dette kaller vi monotiegenskapene til grafen. For å finne dette bruker vi en fortegnslinje.

Eksempel:

$$f(x) = x^2 + 6x + 9$$
a) Finn ekstremalpunktet til $$f(x)$$
b) Finn montoniegenskapene til $$f(x)$$

a)
Da finner vi først den deriverte av f(x)
$$f’(x) = 2x + 6$$
Deretter setter vi $$ f’(x) =0 $$ for å finne x-koordinaten til ekstremalpunktet:\\\
$$ 2x + 6 = 0 $$
$$ 2x = -6 $$
$$ x = -3 $$
Så fyller vi inn x-verdien i grafen:
$$ f(-3) = (-3)^2 +6(-3) + 9 $$
$$ f(-3) = 9 – 18 + 9 $$
$$ f(-3) = 0 $$

Da har vi funnet ett ekstremalpunkt: $$ (-3, 0) $$


b)
Vi lager et fortegnsskjema for å finne monotoniegenskapene til f(x)

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 111111 

Den stiplede linjen står for at grafen synker, mens den hele linjen står for at grafen stiger.
Vi ser her at f(x) synker fram til (-3, 0), og øker etter. Altså er (-3, 0) et bunnpunkt.

Optimering

Det er mulig å finne de optimale verdiene til en funksjon som beskriver et konkret fenomen, ved å foreta en funksjonsdrøfting. Dette gjelder alt fra den maksimale høyden steinkast, til hvilken å finne hvilket tidspunkt en butikk hadde mest omsetning.

Eksempel:

Herman kaster en stein fra en et vindu 5 meter over bakken.
Funksjonen $h(t) = -5t^2 + 10t + 5$ beskriver banen til kastet.

a) Hvor høyt kommer steinen?
b) Når treffer steinen bakken?


Løsning:
a) Den maksimale høyden vil være et toppunkt på grafen. Vi kan derfor finne den ved å derivere funksjonen, og sette den deriverte lik 0.
$$ h’(t) = -10t + 10 $$
$$ -10t + 10 = 0 $$
$$ -10t = -10 $$
$$ t = 1 $$

Vi har nå funnet når steinen er høyest, og kan derfor finne høyde ved å finne h(1):\\\
$$ h(1) = -5(1)^2 + 10(1) +5 $$
$$ h(1) = 10 $$

Den maksimale høyden til kastet er 10m.


b) Siden høyden til ballen vil være 0 når den treffer bakken kan i sette:\\\
$$ h(t) = -5t^2 + 10t + 5 = 0 $$
$$ -t^2 + 2t +1 = 0 $$
$$ t = \frac{-2\pm \sqrt{4-4(-1)(1)}}{2(-1)}$$
$$ t= (1+\sqrt{2})$ eller $t = (1-\sqrt{2})$$
$$ t= 2.41$ eller $t= -0,41 $$

Vi er her bare interessert i verdier over 0, siden det beskriver et fysisk fenomen.
Steinen treffer altså bakken etter 2.41s.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Monotoniegenskaper og ekstremalpunkt? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!