Derivasjonsregler

I praksis gidder man ikke å bruke lange utregninger hver gang man skal derivere en funksjon. Det er derfor noen regler man kan bruke. De er alle sammen beskrevet under.

$$f(x)$$	$$f'(x)$$
$$x$$	$$1$$
$$kx$$	$$k$$
$$k$$	$$0$$
$$x^n$$	$$nx^{n-1}$$
$$\frac{1}{x}$$	$$-\frac{1}{x^2}$$
$$a^x$$	$$a^x\ln(a)$$
$$e^x$$	$$e^x$$
$$e^{kx}$$	$$k\cdot e^{kx}$$
$$\sqrt{x}$$	$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$\ln(x)$$	$$\frac{1}{x}$$

Hvis man f.eks. vil derivere

$$f(x)=x^7$$

så får man

$$f'(x)=7x^{7-1}=7x^6$$

Hvis man vil derivere

$$g(x)=e^{5x}$$

så får man

$$g'(x)=5e^{5x}$$

Hvis man vil derivere

$$h(x)=4x$$

så får man

$$h'(x)=4$$

Derivasjonsregler for kvotienter (brøker)

 Sumreglen

Hvis man ønsker å derivere summen av to funksjoner så kan man bare derivere dem hver for seg og så legge dem sammen. Det samme gjelder med differensen mellom to funksjoner. 
Med symboler kan det skrives slik:

$$h(x)=f(x)\pm g(x)\qquad\Rightarrow $$

$$h'(x)=f'(x)\pm g'(x)$$

Med ord så sier vi "derivasjonskvotienten er lik med summen av derivasjonskvotientene".

F.eks. hvis

$$h(x)=2x+x^3$$

så kan vi kalle

$$f(x)=2x,\quad g(x)=x^3$$

Vi deriverer de to funksjonene hver for seg

$$f'(x)=2,\quad g'(x)=3x^2$$

Hvis vi vil derivere h, skal vi altså bare legge de to funksjonene sammen.

$$h'(x)=2+3x^2$$

Konstantregelen

Hvis vi ønsker å derivere en funksjon som er ganget med en konstant så må vi bare la konstanten stå, og så derivere funksjonen

$$g(x)=k\cdot f(x)\Rightarrow$$

$$g'(x)=k\cdot f'(x)$$

Hvis

$$g(x)=4\sqrt{x}$$

 så skal vi altså bare la 4-tallet stå og derivere kvadratroten av x

$$g'(x)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$$

Produktreglen

Hvis man vil derivere to funksjoner som er ganget med hverandre er det desverre ikke like lett.

$$h(x)=f(x)\cdot g(x)\qquad\Rightarrow$$

$$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

 Man kan huske regelen ved at man skal "derivere, beholde+behold og derivere".

Hvis f.eks.

$$h(x)=3x^2\cdot\ln(x)$$

så kan vi dele den opp slik at

$$f(x)=3x^2,\quad g(x)=\ln(x)$$

Vi deriverer de to funksjonene

$$f'(x)=3\cdot2x^{2-1}=6x,\quad g'(x)=\frac{1}{x}$$

Nå kan vi derivere h ved hjelp af produktregelen

$$f'(x)=3\cdot2x^{2-1}=6x,\quad g'(x)=\frac{1}{x}$$

$$h'(x)=6x\cdot\ln(x)+3x^2\cdot\frac{1}{x}=6x\ln(x)+3x$$

Kvotientreglen

Hvis man vil derivere to funksjoner som er dividert med hverandre, så er regneregelen nå enda vanskeligere.

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\qquad\Rightarrow$$

$$h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Hvis f.eks.

$$h(x)=\frac{x^3}{5\ln(x)}$$

Så er h en kvotient (brøk) af funktionerne

$$f(x)=x^3,\quad g(x)=5\ln(x)$$

Vi deriverer dem hver for seg

$$f'(x)=3x^2,\quad g'(x)=5\cdot\frac{1}{x}=\frac{5}{x}$$

Hvis vi vil derivere h, kan vi altså nå sette inn i kvotientregelen

$$h'(x)=\frac{3x^2\cdot5\ln(x)-x^3\cdot\frac{5}{x}}{(5\ln(x))^2}=\frac{15x^2\ln(x)-5x^2}{25\cdot(\ln(x))^2}=\frac{3x^2\ln(x)-x^2}{5\cdot(\ln(x))^2}$$

Oppsummering

For å oppsummere er reglene:

$$(f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x)$$

$$(k\cdot f)'(x)=k\cdot f'(x)$$

$$(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

$$(\frac{f}{g})'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$