Kvadratsetningene og faktorisering

Kvadratsetningene

Kvadratsetningene bruker man ofte når man skal redusere uttrykk. De forklarer hva som skjer når man ganger to paranteser med hverandre, som inneholder de samme tallene.

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$

$$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Den første kvadratsetningen kan forklares som "kvadratet til en to-leddet størrelse er lik med kvadratet til det første leddet pluss kvadratet på det andre leddet pluss det dobbelte produkt".

Den andre kvadratsetningen kan forklares som "kvadratet på en to-leddet størrelse er lik med kvadratet til det første leddet pluss kvadratet på det andre leddet minus det dobbelte produkt".

Den tredje kvadratsetningen kan forklares som "produktet av de to tallenes sum og de samme to talls differens er kvadratet på det første leddet minus kvadratet på det andre leddet.

Eksempler på de tre kvadratsetningene kan være

$$(3+x)^2=3^2+x^2+2\cdot3\cdot x=9+x^2+6x$$

$$(x-5)^2=x^2+5^2-2\cdot x\cdot5=x^2+25-10x$$

$$(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$$

Men hvorfor er det slik at de tre kvadratsetningene ser ut som de gjør?
Man har bare ganget de to parantesene med hverandre. La oss se på første regel:

$$(a+b)^2=({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}+{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple} b}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple} b}$$

$$=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab$$

Og den andre:
$$(a-b)^2=({\color{Red} a}-{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Purple} {(-b)}}$$

$$=a^2-ab-ba{\color{Orange}{ \:+\:}}b^2=a^2+b^2-2ab\\$$

Her kommer det oransje plusstegnet fra at minus ganger minus gir pluss.

Den tredje kvadratsetningen finnes på samme måte:
$$({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple} b})={\color{Red}a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta} b}\cdot{\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}$$

$$=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$$

Kvadratsetninger og fullstendige kvadraters metode

Noen ganger løser vi ligninger ved å bruke kvadratsetningene.

Hvis man f.eks. har ligningen
$$x^2+9=6x$$

Kan man begynne med å flytte 6x på andre siden av likhetstegnet.

$$x^2+9-6x=0$$

så kan man regne ut venstresiden

$$x^2+9-6x=x^2+3^2-2\cdot3\cdot x$$

og så kan vi bruke den andre kvadratsetningen "baklengs" til å samle uttrykkt

$$x^2+3^2-2\cdot3\cdot x=(x-3)^2$$

Nå er vår ligning

$$(x-3)^2=0$$

og for at venstresiden skal gi 0, må x være 3. Altså er løsningen x=3.

Faktorisering med nullpunktsregelen

Hvis man ønsker å løse ligningen $$3\cdot x=0$$

så er det klart at x=0. Hvis vi skal ganget et tall med noe og få 0, så er vi nødt til å gange med 0. Hvis vi i steder ønsker å løse følgende ligning

$$x\cdot{y=0}$$

Så er det klart at enten så må x være 0, eller så må y være 0(eller begge). Det er dette vi kaller nullpunktsregelen. Med andre ord sier vi: "Hvis et produkt skal være lik 0, så skal minst én av faktorene være lik 0".

La oss se hvordan vi kan bruke denne regelen til å løse ligninger.

Hvis vi blir bedt om å løse ligningen

$$15-3x=0$$

så kan vi skrive om venstresiden til et produkt ved å sette 3 utenfor parantesen.

$$V:\:15-3x=3(5-x)$$

Når man skriver noe om til et produkt, kalles det å faktorisere. Nå er vår ligning

$$3(5-x)=0$$

Nå sier nullpunktsregelen at enten så skal den første faktoren (3) være 0, eller så skal den andre faktoren (5-x) også være lik 0.

Da 3 er et konstant tall, kan det aldri være 0, derfor må (5-x)=0, som vil si at x=5.

Faktorisering av andregradspolynomen

Hvis vi kjenner nullpunktene for et andregradspolynom, kan vi faktorisere det. I stedet for å skrive det på standardformen, kan vi skrive det slik

$$f(x)=a\cdot(x-r_1)\cdot(x-r_2)$$

Hvor r1 og r2 er de to røttene.

Grunnen til at faktoriseringen ser slik ut, er at vi gjerne vil at polynomet gir 0 når vi setter en av røttene inn på x sin plass. La oss sjekke om det virker.

$$f(r_1)=a\cdot(r_1-r_1)\cdot(r_1-r_2)=a\cdot0\cdot(r_1-r_2)=0$$

$$f(r_2)=a\cdot(r_2-r_1)\cdot(r_2-r_2)=a\cdot(r_2-r_1)\cdot0=0$$

La oss ta et eksempel. Vi blir bedt om å løse en andregradsligning som er faktorisert.

$$3(x-5)(x+1)=0$$

Da venstresiden er faktorisert, kan vi bruke nullpunktsregelen. Den sier, at for at produktet av de tre faktorene (3, x-5 og x+1) kan være 0, så skal minst én av faktorene være 0. Den første faktoren er konstant 3 og kan aldri bli 0. Den andre faktoren er 0 når x=5. Den tredje faktoren er 0 når x=-1.

Derfor er løsningene til andregradslikningen x=5 eller x=-1.

La oss ta en annet eksempel

Hvis vi nå får vite at et andregradspolynomen har røttene 1 og -2, samt at det går gjennom punktet (0, 4), vet vi en del om funksjonen.

$$f(x)=a\cdot(x-1)\cdot(x-(-2))=a\cdot(x-1)\cdot(x+2)$$

For å finne ut av hva a er, setter vi punktet (0, 4) inn.
$$4=a(0-1)(0+2)$$

$$4=a\cdot(-2)$$

$$a=\frac{4}{-2}=-2$$

Derfor er
$$f(x)=-2\cdot(x-1)\cdot(x+2)$$

Vi kan gange parantesene ut for å skrive funksjonen på standardformen

$$f(x)=-2\cdot(x-1)\cdot(x+2)$$

$$f(x)=-2\cdot(x^2+2x-1x-2)$$

$$f(x)=-2\cdot(x^2+x-2)$$

$$f(x)=-2x^2-2x+4$$

"Gjett" løsningene til en andregradslikning

Man kan bruke faktoriseringsmetodene til å gjette seg til løsningene av en andregradsligning.

La oss starte med å se på de andregradsligningene der a=1
Da kan andregradsligningen skrives

$$0=a(x-r_1)(x-r_2)=1\cdot(x-r_1)(x-r_2)=(x-r_1)(x-r_2)$$

Hvis vi nå ganger parantesene ut, får vi

$$0=(x-r_1)(x-r_2)=x^2-r_2x-r_1x+r_1r_2$$

$$=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2$$

Hvis vi sammenligner med standardformen for andregradsligninger, så er
$$b=-(r_1+r_2)\Leftrightarrow r_1+r_2=-b$$

$$c=r_1r_2$$

Vi skal altså finne de to tallene som lagt sammen gir -b også hvis produkt er c. Så har vi funnet røttene.

La oss ta et eksempel. Vi skal løse ligningen $$x^2+2x-3=0$$

Da a=1, kan vi bruke regelen ovenfor. De to løsningene r1 og r2 skal altså gi -2(=-b) når man legger dem sammen, og -3(=c) når man ganger dem med hverandre. Det er selvfølgelig kun ett tallpar som oppfyller det, og det er tallparet 1 og -3.

$$1+(-3)=1-3=-2=-b$$

$$1\cdot(-3)=-3=c$$

Derfor er røttene(altså løsningene til andregradsligningen) x=1 og x=-3

Vi kan skrive andregradsligningen

$$0=(x-1)(x-(-3))=(x-1)(x+3)$$

Hvis vi ganger disse parantesene ut, får vi får opprinnelige ligning.

Gjett løsningene, hvis a ikke er 1

Hvis man ønsker å gjette løsningene til en andregradsligning, hvor a ikke er 1, så må man bare dividere med a på begge sider av likhetstegnet, og så gjøre som ovenfor.

$$ax^2+bx+c=0\quad\Leftrightarrow\quad x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Røttene r1 og r2 skal nå oppfylle

$$r_1+r_2=-\frac{b}{a}\qquad r_1r_2=\frac{c}{a}$$

Et eksempel

$$4x^2-12x+8=0$$

Vi beregner \(\frac{-b}{a}\) og \(\frac{c}{a}\):

$$-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{4}=-(-3)=3$$

$$\frac{c}{a}=\frac{8}{4}=2$$

Vi skal altså finne to tall som lagt sammen gir 3, og da hvis produktet er 2.
Det er selvfølgelig kun 1 og 2 som oppfyller dette

$$1+2=3=-\frac{b}{a}$$

$$1\cdot2=2=\frac{c}{a}$$

Løsningene på andregradsligningen er derfor x=1 eller x=2.

Nå som vi kjenner røttene kan vi faktorisere andregradsligningen.

$$0=4x^2-12x+8=4(x-1)(x-2)$$

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Kvadratsetningene og faktorisering? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!