ABC-formelen

En andregradslikning er en ligning på formen

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0$$

Grunnen til, at \(a\) ikke kan være 0, er at da ville andregradsleddet forsvinne, og vi ville stå igjen med en førstegradslikning.

Eksempler på andregradslikninger er

$$3x^2+2x-5=0$$

$$5x^2-3x+7=0$$

$$x^2+8x=0$$

$$x^2=9$$

Bemerk her at 9 i den nederste likningen står på feil side av likehetstegnet. Det er dog fortsatt en andregradslikning, og den kan omskrives til standardformen

$$x^2-9=0,$$

og altså er \(a=1\), \(b=0\) og \(c=-9\).

I den øverste ligning er \(a=3\), \(b=2\) og \(c=-5\). I den neste er \(a=5\), \(b=-3\) og \(c=7\).
Det er viktig å huske på fortegnene når man skal finne ut af hvilke tall \(a\), \(b\) og \(c\) er.

Det er ikke like enkelt å isolere x i andregradslikninger som i førstegradslikninger. Men heldigvis finnes det en metode til å løse andregradslikninger. Denne metoden kalles ABC-metoden. Vi kan dele den inn i to skritt for å gjøre prosessen enklere. 
Først finner vi diskriminanten d, som er gitt ved formelen:

$$d=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Når man har funnet denne, er det tre muligheter:

Hvis \(d\) er negativ \(d<0\), så har likningen ingen løsninger.

Hvis \(d=0\) har likningen 1 løsning.

Hvis \(d\) er positiv \(d>0\) har likningen 2 løsninger.

I de tilfellene hvor det eksisterer løsninger, finner man dem ved formelen

 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{d=(b)^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$

Tegnet \(\pm\) leses som "pluss-minus", og det betyr at ved den ene løsningen skal vi trekke fra diskriminanten, og ved den andre løsningen skal vi legge til diskriminanten.

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{(b)^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\qquad\qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{(b)^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$

Eksempel

La oss se på et eksempel.
Hvis vår andregradslikning er

$$2x^2-10x+8=0$$

så er \(a=2\), \(b= -10\) og \(c=8\).

Vi finner diskriminanten

$$d=b^2-4\cdot a\cdot c =(-10)^2-4\cdot2\cdot8=100-64=36$$

Da \(d>0\) er det to løsninger på andregradslikningen. 
Vi finner løsningene slik:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}=\frac{-(-10)\pm\sqrt{36}}{2\cdot2}=\frac{10\pm6}{4}=\begin{cases}4\\\\1 \end{cases}$$

Likningene blir altså løst når \(x=4\) eller når \(x=1\). Man skriver noen ganger løsningene slik 

$$x=4\quad \lor \quad x=1$$

hvor det v-formede tegnet betyr "eller".

Har du et spørsmål, du vil stille om ABC-formelen? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!