Kombinatorikk og sannsynlighet

Man kan bruke kombinatorikk i sannsynlighetsregning. Her kommer noen eksempler på hvordan. Det kan være en god idé at lese avsnittet om kombinatorikk først.

Eksempel 1

En skål indeholder 10 baller, 5 røde, 3 blå og 2 gule.

  1.  Vi trekker 3 baller. Hva er sannsynligheten for at de alle sammen er røde?

  2. Vi trekker 3 baller. Hva er sannsynligheten for at 1 er gul og 2 er blå?

  3. Vi trekker 4 baller. Hva er sannsynligheten for at høyst 1 er blå?

 a)

Vår hendelse er at alle de 3 trukne ballene er røde. Sannsynligheten kan utregnes som

$$P(H)=\frac{\text{Antal gunstige utfall}}{\text{Antal mulige utfall}}$$

Først finner vi de mulige utfallene. Det må være antallet av måter man kan trekke 3 baller ut av en skål med 10 baller. Vi bryr oss ikke om rekkefølgen vi trekker ballene i, så derfor er antallet:

$$K_{10,3}=\frac{10!}{3!\cdot(10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot7!}=120$$

Nå skal vi regne på antallet av gunstige utfall. Det svarer til antall måter hvor vi trekker alle de tre ballene i rød farge. Da det er 5 røde baller i alt, svarer det altså til hvor mange forskjellige måter man kan trekke 3 baller ut av en mengde på 5 baller.

$$K_{5,3}=\frac{5!}{3!\cdot(5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=10$$

Nå kan vi regne sannsynligheten ut:

$$P(H)=\frac{\text{gunstig}}{\text{mulig}}=\frac{K_{5,3}}{K_{10,3}}=\frac{10}{120}\approx0,0833$$

Det er altså 8,33 prosent sannynlighet for at vi trekker 3 røde baller.

b)

Vi skal finne sannsynligheten for at 1 ball er gul og 2 baller er blå. Antallet av mulige utfall er det samme som ovenfor.

Når vi skal beregne antall gunstige utfall, svarer det til først å se hvor mange muligheter man har for å trekke 1 gul ball ut av de 2. Deretter må man se på hvor mange muligheter man kan trekke 2 blå baller ut av de 3. De to tallene man kommer frem til skal man gange med hverandre for å få det totale antall muligheter pga multiplikasjonsprinsippet.

Først ser vi på antallet av muligheter for å rekke 1 gul ball ut av en mengde på 2.

$$K_{2,1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$$

Nå ser vi på hvor mange måter man kan trekke 2 blå baller ut av en mengde på 3 blå baller.

Sannsynligheten for å trekke 2 blå baller og 1 gul ball må derfor være:
$$P(H)=\frac{K_{2,1}\cdot K_{3,2}}{K_{10,3}}=\frac{2\cdot3}{120}=0,05$$

Det er altså 5 prosent sannsynlighet for dette.

c)

Nå trekker vi 4 baller, så antallet av mulige utfall er :
$$K_{10,4}=\frac{10!}{4!\cdot(10-4)!}=\frac{10!}{4!\cdot6!}=210$$

Vi skal finne sannsynligheten for at høyst 1 ball er blå. Vi får altså suksess hvis det er 0 blå baller eller 1 blå ball.

Først ser vi på hvor mange måten vi kan trekke 0 blå baller på. Det svarere til å rekke 0 baller ut av de 3 blå, og 4 baller ut av de øvrige 7 ballene (de gule og røde). Da begge disse skal være oppfylt, ganger vi dem med hverandre før å få antall muligheter.

$$K_{3,0}\cdot K_{7,4}=\frac{3!}{0!\cdot3!}\cdot\frac{7!}{4!\cdot3!}=1\cdot35=35$$

Nå ser vi på hvor mange måter vi kan trekke 1 blå ball. Det svarer altså til å trekke 1 ball ut av de 3 blå og 3 baller ut av de øvrige 7.

$$K_{3,1}\cdot K_{7,3}=\frac{3!}{1!\cdot2!}\cdot\frac{7!}{3!\cdot4!}=3\cdot35=105$$

Da vi får suksess både hvis det er 0 blå baller og hvis det er 1 blå ball, så må vi legge de to antall mulighetene sammen for å få antall gunstige utfall.

$$P(H)=\frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}=\frac{(K_{3,0}\cdot K_{7,4})+(K_{3,1}\cdot K_{7,3})}{K_{10,4}}=\frac{35+105}{210}$$

$$=\frac{140}{210}\approx0,6667$$

Det er altså 66,67 prosent sannsynlighet for at man høyst trekker 1 blå ball hvis man har 4 forsøk.

 

Eksempel 2

Hva er sannsynligheten for å få en pokerhånd med 3 ess?

En pokerhånd består av 5 kort, og i alt er det 52 kort. Antallet av forskjellige pokerhender må derfor være:

$$K_{52,5}=\frac{52!}{5!\cdot47!}=2.598.960$$

Å få en hånd med 3 ess svarer til å trekke 3 av 4 ess, samt å trekke 2 andre kort som ikke er ess. Det blir altså:

$$K_{4,3}\cdot K_{48,2}=\frac{4!}{3!\cdot1!}\cdot\frac{48!}{2!\cdot46!}=4\cdot1128=4512$$ forskjellige hender, som inneholder 3 ess.

Deretter kan vi regne ut sannsynligheten:
$$P(H)=\frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}=\frac{K_{4,3}\cdot K_{48,2}}{K_{52,5}}=\frac{4.512}{2.598.960}\approx0,00174$$

Det er altså kun 0,174 prosent sjanse for å få en hånd med tre ess i en hånd med poker.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Kombinatorikk og sannsynlighet? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!