Grunnleggende begreper

Innenfor alle fag er det noen bestemte ord og uttrykk som vi bruker ekstra mye. Slik er det også innenfor sannsynlighetsregning. I dette avsnittet vil vi gjennomgå noen av de viktigste begrepene innenfor sannsynlighetsregningen.

Utfallsrom

Utfallsrommet er det universet vi beveger oss innenfor. Alle de mulige utfall i eksperimentet vi foretar oss. Hvis vi kaster en terning og er interesserte i hvor mange øyne den viser, er utfallsrommet

$$U=\{1,2,3,4,5,6\}$$

Det er altså 6 mulige utfall.

Hvis vi i stedet hadde kastet med to terninger, ville hvert utfall være to tall. For eksempel (4,3), som ville bety at den første terningen viste en 4'er og den andre en 3'er. I dette tilfellet ville utfallsrommet bestå av 36 forskjellige utfall (den første terningen kan vise 6 forskjellige verdier, og for hver av dem kan den andre terningen vise 6 forskjellige verdier. I alt er det altså \(6 \cdot6=36\) forskjellige muligheter:

\(U=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,4),(6,5),(6,6)\}\)

Hvis vi hadde spilt poker (hvor man får 5 ut av 52 kort), hadde en pokerhånd (ett utfall) kunne vært (K5, S3, HE, RJ, KK)-altså kløver 5, spar 3, hjerter ess, ruter knekt, og kløver konge. I alt ville utfallsrommet består av 2.598.960 forskjellige pokerhender. Dette kommer vi tilbake til hvordan vi har regnet ut i *kombinatorikk*

Vi kunne hatt en skål med 3 røde og 1 blå ball. Hvis vi trekker én ball, ville utfallsrommet være 

$$U=\{\text{Rød, Blå}\}$$

Sannsynlighet

Hvert element i utfallsrommet er tilknyttet en sannsynlighet. Man betegner sannsynligheten med en liten p.

I tilfellet med én terning, er sannsynlighetene for hvert utfall den samme. Det er 6 sider på terningen, så sannsynligheten for hvert utfall er 1/6.

$$p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=\frac{1}{6}\approx0,1667$$

I tilfellet med to terninger, er det alltid 36 mulige utfall. De er alle sammen like sannsynlige, så sannsynligheten er

$$\frac{1}{36}\approx0,02778$$

for hvert utfall.

Hvis alle utfallene er like sannsynlige, kaller vi det en uniform sannsynlighetsfordeling. De to eksemplene over er uniforme sannsynlighetsfordelinger.

Eksempelet med skålen som har 4 baller, hvor 3 er røde og 1 blå, er ikke uniformt, da
$$p(\text{Rød})=\frac{3}{4}=0,75,\qquad p(\text{Blå})=\frac{1}{4}=0,25$$

Hvis man legger sannsynlighetene for alle elementene sammen, skal det gi 1 (svarende til 100\%).

Hendelse

En hendelse H, er en delmengde av utfallsrommet. For eksempel kunne man i forsøket med én terning se på hendelsen

$$H=\{\text{Antall øyne som er ulike}\}$$

De elementene i utfallsrommet som oppfyller dette, er 1, 3 og 5.

Vi markerer sannsynligheten for at en hendelse inntreffer med en stor P. Man finner frem til sannsynligheten for en hendelse ved å legge alle sannsynlighetene for de enkelte elementene i hendelsen sammen.

$$P(H)=p(1)+p(3)+p(5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=0,5$$

Hvis det er snakk om en uniform sannsynlighet, er sannsynligheten for en hendelse

$$P(H)=\frac{\text{Antall gunstige utfall}}{\text{Antal mulige utfall}}$$

For eksempel kunne en hendelse ved to terningkast være

$$H=\{\text{summen af øynene er }5\}$$

De gunstige utfallene er (1,4), (2,3), (3,2) og (4,1). Altså er det 4 gunstige utfall. Vi innsetter dette i formelen:
$$P(H)=\frac{4}{36}\approx0,1111$$

Komplementær hendelse

Noen ganger er det lettere å regne sannsynligheten ut for at en hendelse ikke skjer.

Hvis vår hendelse heter H, så betegner vi den hendelsen at H ikke inntreffer med

$$\overline{H}$$

Vi kaller det den komplementære hendelse. Det er klart, at enten så inntreffer H, eller så inntreffer den ikke. Derfor gjelder det, at summen av sannsynlighetene må bli 1 (altså 100%)

$$P(H)+P(\overline{H})=1$$

Vi triller 3 terninger og ønsker å finne sannsynligheten for at vi får minst én sekser. Vår hendelse er altså

$$H=\{\text{minst 1 sekser}\}$$

Det er imidlertidig ikke helt enkelt å beregne hvor mange gunstige utfall det er for denne hendelsen.

Den komplementære hendelsen må være:

$$\overline{H}=\{\text{ingen seksere}\}$$

Det er noe lettere å regne ut sannsynligheten for at denne hendelsen inntreffer. Når det ikke kan være noen seksere, er det nemlig fem gunstige utfall på den første terningen (1,2,3,4 eller 5). For hver av dem er det 5 gunstige utfall på den neste terningen, og for hver av dem er det også 5 gunstige utfall på den siste og tredje terningen. Altså må sannsynligheten være

$$P(\overline{H})=\frac{\text{Antal gunstige utfall}}{\text{Antall muligeutfall}}=\frac{5\cdot5\cdot5}{6\cdot6\cdot6}=\frac{125}{216}\approx0,579$$

Ved å trekke denne sannsynligheten fra 1, får vi sannsynligheten for H.

$$P(H)=1-P(\overline{H})=1-0,579=0,421$$

Altså er det 42,1% sannsynlighet for å få minst én sekser, hvis man har tre kast. Det kan være nyttig å vite når man spiller ludo!

Har du et spørsmål, du vil stille om Grunnleggende begreper? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!