Binomialfordelingen

Man bruker binomialfordelingen når man har et forsøk som kun har to utfall: suksess og fiasko. Man gjentar forsøket et antall ganger. Dette antalles kalles antallsparameteren og betegnes som n. Dessuten skal det være en fast sannsynlighet for at det blir suksess. Denne kalles sannsynlighetsparameteren og betegnes med p. 

Vi lager en stokastisk variabel X, som angir hvor mange suksesser vi har hatt.

Vi kunne for eksempel ha et Yatzy-spill med 5 terningen hvor vi ønsket å treffe flest mulig 3'ere. Vi er interesserte i hvor mange 3'ere vi får.

Istedenfor å se på det som å kaste 5 terninger, kan vi se det som å kaste 1 terning 5 ganger. Derfor er antallsparameteren n=5.

Vår suksess er at terningen viser 3. Det er altså fiasko hvis den viser 1, 2, 4, 5 eller 6. Det er 1 ut av 6 som gir suksess, derfor er p=1/6.

Våre stokastiske variabler X kan anta verdiene 0, 1, 2, 3, 4, og 5, alt etter hvor mange 3'ere vi får. Vi ønsker å se på hva sannsynligheten for å få en 3'er er. Dvs finne P(X=1). Det svarer til at vi i 1 av de 5 terningkastene får en 3'er, mens vi får noe annet i de 4 andre.

På grunn av multiplikasjonsprinsippet skal vi altså gange 

$$\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4$$

Vi vet imidlertig ikke i hvilket av de 5 terningkastene kommer. Det kan være i hvilket som helst av dem. Derfor er det fem muligheter. I alt er sannsynligheten for å få en 3'er:
$$P(X=1)=5\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6} \right )^4\approx0,402$$

Binomialfordelingen

Det vi har sett her er faktisk et spesialtilfelle av binomialfordelingen. Den sier nemlig at:
$$P(X=r)=K_{n,r}\cdot p^r\cdot (1-p)^{n-r}$$

Sjekk selv at formelen passer inn med ovenstående eksempel hvor

$$n=5$$

$$r=1$$

$$p=\frac{1}{6}$$

$$1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$

$$n-r=5-1=4$$

$$K_{n,r}=K_{5,1}=\frac{5!}{1!\cdot4!}=5$$

Vi kan regne ut, hva sannsynligheten er for å få hhv. 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 treere i de fem terningkastene.

$$P(X=0)=K_{5,0}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^0\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^5\approx0,402$$

$$P(X=1)=K_{5,1}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^1\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^4\approx0,402$$

$$P(X=2)=K_{5,2}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^2\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^3\approx0,161$$

$$P(X=3)=K_{5,3}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^3\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^2\approx0,032$$

$$P(X=4)=K_{5,4}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^4\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^1\approx0,003$$

$$P(X=5)=K_{5,5}\cdot \left( \frac{1}{6}\right )^5\cdot \left(\frac{5}{6} \right )^0\approx0,0001$$

Sannsynligheten for at få Yatzy med 3'erne i første forsøk er altså omtrent 0,01%

Har du et spørsmål, du vil stille om Binomialfordelingen? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!