Mindste kvadraters metode

Den metoden man bruker i regresjon til å undersøke avstanden fra et punkt til en funksjon kalles for minste kvadraters metode. Grafisk betyr det at man tegner kvadrater for hver punkt, der sidelengden er den loddrette avstanden til grafen. Jo mindre det samlede arealet T er, jo bedre passer linjen.

Fordi matematikken er enklere, bruker vi i følgende eksempler kun en proporsjonal sammenheng (\(a \cdot x\)), men teorien er den samme for mer komplekse sammenhenger.

I et eksempel har vi følgende punkter som er markert med grønn:
\(P(1; 2)\), \(Q(4; 7)\) og \(S(7; 15)\)

 

Regression1

Vi prøver nå å sammenligne det samlede arealet for to forskjellige funksjoner:
\(y = 2,5 \cdot x\) som er markert med blått, og
\(y = 1,5 \cdot x\) som er markert med rødt.

Hvis vi legger arealene sammen fås hhv:
\(0,25 + 9 + 6,25 = 15,5\) og
\(0,25 + 1 + 20,25 = 21,5\)

Vi kan også finne arealene numerisk med følgende uttrykk

\((2 - 2,5 \cdot x)^2 + (7 - 2,5 \cdot 4)^2 + (15 - 2,5 \cdot 7)^2 = 15,5\)
\((2 - 1,5 \cdot x)^2 + (7 - 1,5 \cdot 4)^2 + (15 - 1,5 \cdot 7)^2 = 21,5\)

Vi kan deretter generalisere den numeriske løsningen. Hvis vi kaller proporsjonalitetsfaktoren som i eksemplene er hhv 2, 5 og 1,5 for \(a\) og skriver hvert punkt som  \((x_n; y_n)\), hvor \(n\) er det kordinatsettets 'nummer' og \(k\) antallet av koordinatsett, så kan vi skrive det opp som følgende:

\(T = (y_1 - a \cdot x_1)^2 + (y_2 - a \cdot x_2)^2 + \cdots + (y_{k-1} - a \cdot x_{k-1})^2 + (y_k - a \cdot x_k)^2\)

Som kan omskrives til:

\(T = \sum \limits _{n=1} ^k (y_n - a \cdot x_n)^2\)

Har du et spørsmål, du vil stille om Minste kvadraters metode? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!