Tier-logaritmer

Nå skal vi undersøke hvordan man kan finne de ukjente i eksponentialfunksjoner algebraisk, ved bruk av logaritmer.

Vi begynner vår diskusjon ved å skissere grafen til følgende eksponentialfunksjon:

Tierpotensgraf

 

I koordinatsystemet ovenfor, har vi også valgt punkt på kurven $$y=f(x)=7$$ Ved å lese x-aksen, ser vi at dersom $$y=7$$ er $$x\approx0,85$$ og da er

\begin{equation}
10^{0.85}\approx7
\end{equation}

Vi kan ta en hvilken som helst positiv verdi på y-aksen og lese hva den tilsvarende x-verdien blir for grafen på x-aksen. Vi kan altså finne alle tall for for eksponentialfunksjonen med basis 10, det vil si med tierpotens. For eksempel:

Skarmbillede 2017 08 18 Kl 210903

Den eksponenten 10 må opphøyes i for å få det positive tallet y, kalles for tallet y sin tier-logaritme. Dette betyr at tier-logaritmen til 9 er ca 0,95. Dette kan vi kan lese i tabellen over.

Hvis vi har en eksponentialfunksjon, f.eks:

\begin{equation}
11=10^{x}
\end{equation}

som vi ønsker å løse, kan vi gjøre det grafisk, dvs. ved å ha en $$10^x$$ kurve plottet og deretter lese hva verdien av x er ved y = 11 (akkurat som vi gjorde ovenfor).

Et annet alternativ er å bruke kalkulator. De fleste kalkulatorer har en ferdig funksjon for å finne denne type data, og det den gjør tilsvarer det vi gjorde da vi trakk opp funksjonen og leste av grafisk. Denne funksjonen i kalkulatoren er vanligvis referert til som "log" eller "lg" (videre vil vi konsekvent skrive "lg", men det er like enkelt og riktig å skrive "log").

Løsningen på ligning
$$11=10^{x}$$
blir da
$$x=lg11\approx1.04$$

Tier-logaritmens (den vanlige logaritmens) definisjon

Definisjonen av den vanlige logaritmen er som følger nedenfor:
\begin{equation}
y = 10^x\Leftrightarrow lgY = (y> 0)
\end{equation}

Alle positive tall kan på denne måten bli omskrevet på basen 10, siden
$$x = 10^{lgx}$$
kan vi si at for alle positive tall a blir
$$a = 10^{lga}$$

For eksempel kan vi skrive:
$$5 = 10^{lg5}$$

Å være i stand til å bruke tier-logaritmens definisjon til å skrive om positive tall med base 10, er veldig nyttig når vi vil løse eksponensialfunksjoner algebraisk.

Løsning av eksponentialfunksjonen ved hjelp av tier-logaritmer

Vi vender nå tilbake til eksempelet med eksponentialligningen vi løste grafisk i avsnittet om eksponentialfunksjoner og prøver nå å løse denne ved hjelp av tier-logaritmer.

Eksempel

I dette eksempelet har vi satt inn 50 000kr på en bankkonto med en årlig rente på 2%, og vi lurer på hvor lang tid det vil ta å spare opp til 60 000kr?

Vi får da eksponentialligningen:
$$50000\cdot1.02^x = 60 000$$
Å løse denne ligningen betyr at vi finner en verdi av x, som representerer antall år vi har latt pengene stå urørt på konto til det er 60 000kr.
Som med andre ligninger ønsker vi å prøve å få x til å stå alene på den ene side av likhetstegnet. Vi starter med å sørge for at vi bare har potensen til venstre, ved å dele hele ligningen med 50000:

$$\dfrac{50000\cdot1.02^x}{50000} = \dfrac{60000}{50000}
1,02^x = 1.2$$
Så skriver vi om eksponentialfunksjonen ved å bruke definisjonen av logaritmen, slik at vi får 10 som utgangspunkt. Vi skriver bare om 1.02 og 1.2, slik at de er skrevet med basis 10:
$$= 1.02 \cdot 10^{lg 1.02}
= 1.2\cdot 10 ^{lg 1.2}$$
Så skriver vi om eksponentialfunksjonen, med å sette inn for tallene vi fant over:
$$(10^{lg 1.02})^ x = 10^{lg 1.2}$$
Med hjelp av en av potenslovene kan vi skrive om venstre side (som selvfølgelig er en potens, hvor basen er en potens, og eksponenten er x), slik at ligningen blir
$$10^{x\cdot lg 1.02} = 10^{lg 1.2}$$
Siden begge sidene i ligningen skal være like og begge er skrevet med samme base, så må eksponentene være like.
Med andre ord, får vi:
$$x\cdot lg 1.02 = lg 1.2$$
Herfra kan vi løse ut for x og bruke kalkulatorens tierlogaritme-funksjon for å finne ut hva x er:
$$\dfrac{x \cdot lg 1.02}{lg 1.02} = \dfrac{lg 1.2}{lg 1.02}
x = \dfrac{lg 1.2}{lg 1.02} \approx 9,2$$
Balansen i bankkontoen vår vil dermed være 60 000 etter ca 9,2 år.
Vi ser at en algebraisk løsning av den eksponentielle ligningen ved hjelp av logaritmen gir det samme resultatet som vi så med en grafisk løsning. Med denne algebraiske metoden kunne vi imidlertid finne løsningen eksakt, ved å bruke forholdet mellom to tierlogaritmer.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Tier-logaritmer? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!