Logaritmeregler

Som vi så i avsnittet om tierlogaritmer så er logaritmer veldig viktige for å løse eksponentiallikninger, det vil si likninger med x i eksponenten.
Det er en haug med logaritmeregler som kan være nyttige å huske for å gjøre livet lettere når man må løse eksponentiallikninger.
Det er tre logaritmeregler vi kan utlede fra potenslovene og definisjonen av tierlogaritmer. Nedenfor presenterer vi disse logaritmereglene og hvordan man kan bevise at de stemmer.

Første logaritmeregel

Første logaritmeregel sier hva som skjer når man multipliserer logaritmer. Med andre ord, hva er \(lg (x\cdot y)\)?
Vi starter med å skrive om tallene x og y som potenser med base 10
$$x = 10^{lg x}
y = 10^{lg y}$$
Deretter bruker vi dette til å skrive uttrykket ovenfor
$$lg (x\cdot y) = Ig (10^{lg x}\cdot 10^{lg y})$$
Ved hjelp av potenslov for multiplikasjon av potenser med samme base får vi
$$x^a\cdot x^b = x^{a + b}$$

Slik at vi kan skrive om uttrykket til
$$lg (10^{lgx}\cdot 10^{lg y}) = Ig (10^{lg x + lg y})$$

Og ved å bruke definisjonen av logaritmen, kan vi skrive om dette til

$$lg (10^{lg x lg y}) = + lg x + lg y$$

Oppsummeringen av første logaritmeregel blir da:

$$lg (x\cdot y) = lg x + lg y$$

Andre logaritmeregel

Den andre logaritmeregel forteller oss hva som skjer når man dividerer. Med andre ord, hva
$$lg \Big(\dfrac{x}{y}\Big)$$

er. Akkurat som da vi skulle utlede den første logaritmeregelen, så starter vi nå også med å skrive om x og y som potenser med base 10, og får da:

$$lg \Big(\dfrac{x}{y}\Big) = lg \Big(\dfrac{10^{lg x}}{10^{lg y}}\Big)$$

Vi kan herfra med hjelp fra potensloven for divisjon av potenser med samme base:

$$\dfrac{x^{a}}{x^{b}} = x^{a-b}$$

Skrive om videre

$$lg \Big(\dfrac{10^{lg x}}{10^{lg y}}\Big) = lg \big(10^{lg x - lg y}\big)$$


Og videre forenkle det til

$$ lg \big(10^{lg x - lg y}\big) = lg x - lg y$$


Den andre logaritmeregelen blir da:

$$lg \Big(\dfrac{x}{y}\Big) = lg x - lg y$$

Den tredje logaritmeregelen

Den tredje logaritmeregelen forteller oss hva som skjer når vi vil finne logaritmen av potenser. Med andre ord, hva
\(lg x^{a}\) er.
Som med avledningene høyere opp, starter vi med å bruke definisjonen av logaritmen til å skrive om x som en potens med base 10 og erstatte x med dette i uttrykket

$$lg x^{a} = lg (10^{lg x})^{a}$$

Ved hjelp av potensregel for potenser av potenser:

$$\big(x^{a}\big)^b = x^{a\cdot b}$$

Deretter kan vi skrive uttrykket som følger

$$lg (10^{lg x})^{a} = lg 10^{lg (x) \cdot a} = lg 10^{a\cdot lg x}$$

Og dette kan også skrives som:

$$lg 10 ^{a\cdot lg x} = a \cdot lg x$$

På den måten kan vi oppsummere tredje logaritmeregel til:

$$lg x^{a} = a\cdot lg x$$

Husk!

\begin{align*}
lg (x \cdot y) &= lg x + lg y
lg \Big(\dfrac{x}{y}\Big) &= lg x - lg y
lg x^{y} &= y\cdot lg x
\end{align*} 

Eksempel

Vi ønsker å sette 1000kr i et fond som har 12% rente. Hvor mange år vil ta før vi har 10 000kr i fondet?

$$1000 \cdot 1.12^x = 10 000
\dfrac{1000 \cdot 1.12^x }{1000} = \dfrac{10 000}{1000} 
1.12^x = 10
log 1.12^x = log 10
x\cdot log 1.12 = log 10
(Log 10 = 1)
x = 1 \cdot log 1.12 \approx 20,3$$

Svar: 20 år (og 4 måneder)

Har du et spørsmål, du vil stille om Logaritmeregler? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!