Eksponentialfunksjoner

Fra tidligere kjenner vi til lineære funksjoner og kvadratiske funksjoner, der vi har hatt den uavhengige variabelen x i bunnen av en potens.

En funksjon der den uavhengige variabelen (vanligvis) x, er funnet i eksponenten til en potens, kalles en eksponentialfunksjon.

Vi kan alltid skrive eksponentialfunksjoner på den generelle formen
\begin{equation}
y = C\cdot a^{x}
\end{equation}

hvor c og a er konstanter $$(a > 0)$$, x er den variable, og y er den avhengige variabelen. Som vi ser er det den uavhengige variabelen x som er eksponenten, mens potensens base består av en konstant, a.

En eksponentialfunksjon er ulik avhengig av om basen \textbf{a} er større eller mindre enn 1. (basen er alltid større enn 0).
I koordinatsystemet nedenfor har vi skissert grafen til eksponentialfunksjonen
$$y (x) = 2^{x}$$

I denne funksjonen er basen større enn 1 (a = 2)
Funksjonen øker derfor for alle verdier av x.
Exponentialfunktioner 07figur 1: a>1

Nå skal vi tegne et eksempel der a er mindre enn 1. Vi prøver med eksponentialfunksjonen
$$y (x) = 5\cdot 0.5^{x}$$
Denne funksjonen har en base som er mindre enn 1 (a = 0,5). Funksjonen blir derfor mindre for alle verdier av x. Jo større verdien av x er, jo nærmere vil funksjonsverdien y komme mot null, men det vil aldri komme helt ned til y = 0.

Exponentialfunktioner 08
Figur 2: a<1

Ved hjelp av potensregelen for negative eksponenter
$$a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$$
Kan vi skrive om eksponentialfunksjonen der basen a er mindre enn 1, for å få en eksponentialfunksjon med negativ eksponent (eller motsatt).
Hvis vi bruker denne sammenhengen kan vi skrive om funksjonen i eksempelet over på denne måten:
$$y (x) = 5\cdot0.5^x
y (x) = 5\cdot \Big( \dfrac{1}{2} \Big) ^x
y (x) = 5\cdot \dfrac{1}{2^x}
y (x) = 5\cdot 2^{-x}$$
Med andre ord er funksjonen $$y (x) = 5\cdot 0.5^x$$ den samme som $$y (x) = 5\cdot 2^{-x}$$

 Verdien av koefissienten C i en eksponentialfunksjon

Kurven påvirkes ikke bare av størrelsen på basen a, men også av verdien til koeffisienten C.
Koeffisienten C kan tolkes som funksjonsverdien når x = 0. Det vil si, der kurven skjærer y-aksen. Setter man x = 0 i en eksponensialfunksjon med en base a, så får man jo
$$y (0) = C\cdot a^0 = C\cdot 1 = C$$

Grafisk løsning av eksponentialfunksjonen

Et eksempel på en eksponentialfunksjon, kan vi se nedenfor:
$$y (x) = 50000\cdot1,02^x$$
Denne funksjonen beskriver hvor mye penger (y) man har på en bankkonto hvis man setter inn 50 000 til en konto med en årlig rente på 2% (endringsfaktor 1,02), der x er antall år etter at pengene ble satt inn.
Hvis vi vil vite hvor mye penger det er på kontoen etter 3 år, trenger vi bare å sette inn 3 i stedet for x og så regne ut verdien av y:
$$y (3) = 50000\cdot1,02^3 = 53 060.40$$

Med andre ord vil vi ha 53 060.40 kroner på konto etter tre år.
Hvis du i stedet ønsker å finne ut hvor mange år det vil ta før du har spart opp 60 000 kroner på kontoen din, så kan vi løse det grafisk. Metoden vi bruker er stort sett den samme metoden som brukes til grafisk løsning av ligninger.
Vi beskriver den ønskede situasjonen som en eksponentialligning der den utvalgte y-verdien er 60 000 (60 000 vil være på kontoen din)
$$50000\cdot1,02^x = 60000$$

For å løse denne ligningen grafisk tegner vi følgende funksjoner i et koordinatsystem
$$y (x) = 50000\cdot1,02^x
y (x) = 60000$$
og finner X-koordinaten til skjæringspunktet mellom de to grafene. X-koordinaten representerer løsningen vi leter etter i vår eksponentialfunksjon.

Exponentialfunktioner 09

Vi ser at de to kurvene møtes der x = 9.2, som betyr at etter 9.2 år har vi 60 000kr på konto.
I dette eksempelet løste vi eksponentialligningen grafisk. På samme måte som for andre ligninger, for eksempel annengradsligninger, er det også måter å løse en eksponentialligning algebraisk. Dette skal vi skal se mer på i de neste avsnittene.

Har du et spørsmål, du vil stille om Eksponentialfunksjoner? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!