Potensfunksjoner

Den tredje viktige type funksjon utenom lineære og eksponentielle er potensfunksjonene.

Et eksempel på en potensfunksjon kan være

$$y=5\cdot x^2$$

Og den generelle formelen til en potensfunksjon er

$$y=b\cdot x^a$$

Den heter en potensfunksjon fordi den består av en potens \( x^a\) med fast eksponent (a) og varierende grunntall (x). I tillegg er det en koefissient, b, som ganges på.

Potensfunksjonen har den egenskapen, at når x-verdien stiger med en fast prosent, så stiger y-verdien også med en fast prosent.
Noen ganger kalles også potensfunksjoner prosentvekst.

Det betyr at når vi ganger vår x-verdi med et tall, k, så må vi gange vår y-verdi med \(k^a\).

Legg merke til hvordan det skiller seg fra eksponentialfunksjonen, hvor y steg med en viss prosent, når x steg med et tall. I potensveksten må x stige med en prosent og ikke et tall, før y stiger med en bestemt prosent.

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 104326

Vi kan se på grafen at når x vokser med 200\% (dvs vi ganger med 3), så vokser y med 100\% (dvs vi ganger med 2).

Når x=1, og vi stiger 200%, er vi oppe på 3. Og y er steger med 100% (fra 4 til 8).

Når x=5, og vi stiger med 200%, er vi oppe på 15. Og y er steger med 100% (fra 11 til 22).

Uansett hvor vi starter, vil en økningen på 200% på x-aksen resultere i at y økes med 100%.

Man kan også uttrykke det på en annen måte.

Hvis vi øken en x-verdi med faktoren \(F_x\), så øker y-verdien med faktoren \(F_y\), og sammenhengen mellom de to faktorene er
$$F_y={F_x}^a\quad\Leftrightarrow\quad F_x=\sqrt[a]{F_y}$$

Hvis vi f.eks. har potensfunksjonen

$$y=5x^2$$

og vi vil øke vår x-verdien med 20\% dvs \(F_x=20\)), så er

$$F_y={F_x}^a=1,20^2=1,44$$

Dvs, at når x stiger med 20\%, så vil y stige me 44%.

Hvis vi gjerne vil at y skal stige med 69\% (\(dvs. F_y=1,69\)), hvor mange prosent skal vår x da økes med?

$$F_x=\sqrt[a]{F_y}=\sqrt[2]{1,69}=\sqrt{1,69}=1,30$$

Dvs: når y stiger med 69%, så stiger x med 30%.

Betydningen av a

I motsetning til de to andre funksjonstypene, kan grafen for potensfunksjoner se veldig forskjellige ut. Utseendet avhenger i høy grad av hvilken verdi a har.

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 104337

Vi ser at hvis a er mindre enn 0, vil grafen starte høyt oppe og smyge seg ned langs y-aksen, for så å nærme seg 0, og så smyge seg langs x-aksen. Bemerk, at den aldri krysser noen av aksene! Funksjonen er altså avtakende.

Hvis a er 0, er funksjonen konstant med y=b.

Hvis a ligger mellom 0 og 1, vil vi ha en voksende grad, som flater mer og mer ut.

Hvis a er 1, har vi en rett linje (med helning b). Og sist men ikke minst, hvis a er større en 1, har vi en graf som vokser og blir brattere.

Når a ligger mellom 0 og 1, er potensfunksjonen faktisk også en "rotfunksjon". Som feks er
$$x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$$

Derfor vil en funksjon som

$$y=5x^\frac{1}{3}$$

være det samme som

$$y=5\cdot\sqrt[3]{x}$$

Betydning av b

Ovenfor har vi sett på hva tallet a betyr for grafens utseende.

Tallet b sier også noe om hvordan grafen ser ut. Det er nemlig den verdien som er på y-aksen når x er 1. For å avlese b ut fra en graf må man altså gå ut fra x-aksen til man støter på 1, og deretter gå oppover y-aksen til man støter på grafen. Y-verdien i det punktet er da b.

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 104346

 Her ser vi forskjellige potensfunksjoner med samme b-verdi (men helt forskjellige a-verdier).

Grafen

Noen ganger kan grafen for en potensfunksjon ligne på grafen for en eksponentiell funksjon. Det er midlertidig noen tommelfingerregler slik at man kan kjenne forskjell.

Når a er større enn 1, ligner grafen en voksende eksponentialfunksjon. Der hvor de er forskjellige, er at grafen for en eksponentialfunksjon vil skjære y-aksen i punktet (0,b), mens potensfunksjonens graf kommer uendelig tett på origo (0,9), men aldri helt vil skjære y-aksen (selv om det kan se slik ut på grafen), fordi potensfunksjonen kun er definert for positive reelle tall.

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 104359

Man kan også komme til å forveksle grafen for en potensfunksjon med a mindre enn 0 med avtakende eksponentialfunksjoner.

Her må vi igjen huske, at en avtakende eksponentialfunksjon skjærer y-aksen i punktet (0, b) mens en potensfunksjon med a mindre enn 0 aldri skjærer y-aksen.

Skarmbillede 2017 06 07 Kl 104404

Hvis man har noen punkter og vil finne ut av om de tilhører en eksponentiell eller potensvekst, kan man tegne dem inn i forskjellige koordinatsystemer. En potensfunksjon vil danne en rett lnije i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, mens en eksponentialfunksjon vil danne en rett linje i et enkeltlogaritmisk (semilogaritmisk) koordinatsystem.

Finn x og y

 

I en potensfunksjon er y en funksjon av x. Hvis vi kjenner x, kan vi altså sette det inn på høyre side og så finne ut av hva den tilhørende y-verdien er .

Hvis vi derimot kjenner y og gjerne vil bestemme x, må vi først ha isolert x i uttrykket.

$$y=b\cdot x^a$$

$$\frac{y}{b}=x^a$$

$$\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=x$$

Vi kan altså finde x ved å bruke formlen

$$x=\sqrt[a]{\frac{y}{b}}$$

La oss ta et eksempel

Hvis $$y=4x^2$$

og vi får vite at x=2, så kan vi beregne y ved å innsettte 2 på x sin plass.

$$y=4x^3=4\cdot2^3=4\cdot8=32$$

y er altså 32.

Hvis vi får vite at y=108, så kan vi beregne x

$$x=\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=3$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Potensfunksjoner? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!