Eksponentialfunksjoner

Hvis du har å gjøre med noe som vokser/avtar med en fast prosent per tidsenheter, så snakker vi om eksponentiell utvikling. Et viktig eksempel på eksponentiell utvikling er renteformelen. Den kan være god å begynne med.

Et annet eksempel kan være en slags bakterie som fordobler hver time. Hvis vi starter med 3 bakterier, vil vi etter en time ha

$$3\cdot2=6$$

Altså 6 bakterier. Ganske enkelt. Etter to timer har vi da

$$6\cdot2=12$$

12 bakter. Etter tre timer har vi

$$12\cdot2=24$$

24 bakterier osv...

Legg merke til at vi kan skrive om tallene

$$6=3\cdot2^1$$

$$12=3\cdot2^2$$

$$24=3\cdot2^3$$

Hvis vi kaller antallet av bakterier etter x antall timer for y, så kan vi skrive at

$$y=3\cdot2^2x$$

Dette er et eksempel på en eksponentiell utvikling. Generelt ser vi at eksponentielle utviklinger er på formen

$$y=b\cdot a^x,\quad a>0$$

Vi har allerede sett at x og y er variabler hvor y-verdien avhenger av hvilken x-verdi vi setter inn på høyre side. Y er altså den avhengige og x den uavhengige variabelen.

Men hva er så a og b?

Eksponentialfunksjoner

a er en konstant som sier noe om hvor mange prosent y vokser eller avtar med for hver x. Hvis y vokser med "r" prosent pr x har vi nemlig at

$$a=1+r$$

som er det samme som å si

$$r=a-1$$

Hvis vi får vite at y vokser med 5 prosent for hver x, så er
$$a=1+r=1+5\%=1+0,05=1,05$$

Og hvis vi får vite at y avtar med 7 prosent for hver x, så er

$$a=1+r=1+(-7\%)=1-0,07=0,93$$

Og hvis vi får vite at a=1,23 så kan vi finne r slik

$$r=a-1=1,23-1=0,23=23\%$$

Generelt kan vi si at

Hvis a>1, så er utviklingen voksende

Hvis 0<a<1 så er utviklingen avtakende

Konstanten b er den verdien vi starter med. I eksempelet med bakteriene over var b=3

På en graf kan vi avlese b som skjæringen med y-aksen.

Skarmbillede 2017 05 30 Kl 150956

I dette eksempelet kan vi se at b=2,5

Man kan ikke på samme måte avlese a ved å se på grafen. Dog kan man se, at hvis a er større enn 1, så vil grafen ha en oppadgående kurve, og hvis a er mindre en 1 vil den ha en nedadgående kurve.

Skarmbillede 2017 05 30 Kl 151425

Bemerk at grafen aldri krysser x-aksen.

Her er en tabell over hvordan man finner de ulike konstantene og vekstraten.

Forskrift Begynnelsesverdi (b) Fremskrivningsfaktor (a) Vekstrate/Rentefot (r) Utvikling
\(y=450\cdot1,13^x\) \(450 \) \(1,13 \) \(1,13-1=13\% \) voksende
\(y=217\cdot1,56^x\) \(217 \) \(1,56 \) \(1,56-1=56\% \) voksende
\(y=132\cdot0,81^x\) \(132 \) \(0,81 \) \(0,81-1=-19\% \) avtakende
\(y=1,7\cdot0,1^x\) \(1,7 \) \(0,1 \) \(0,1-1=-90\% \) avtakende
\(y=2,3\cdot5^x\) \(2,3 \) \(5 \) \(5-1=400\% \) voksende

Hvis man tegner grafen for en eksponentiell funksjon i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem (dvs hvor y-skalaen er logaritmisk og x-skalaen er vanlig), så får man en rett linje.

Har du et spørsmål, du vil stille om Eksponentialfunksjoner? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!