Ulikheter

Når vi skal løse ulikheter, er det fire forskellige ulikhetstegn vi skal ha kontroll på.

\( x\leq y \) "\(x\) er mindre eller lik med \(y\)"

\( x\geq y \) "\(x\) er større eller lik med \(y\)"

\( x < y \) "\(x\) er mindre enn \(y\)"

\( x > y \) "\(x\) er større enn \(y\)"

Hvis man er i tvil om hva som betyr hva, kan man se ulikhetstegnet som en krokodillemunn som alltid spiser den største verdien.

En likhet består av en venstreside, en høyreside og et av de fire ulikhetstegnene.

Regneregler for ulikheter

Når man skal løse en ulikhet må man legge til eller trekke fra på begge sider av ulikhetstegnet.

$$x+5<8\quad\Leftrightarrow\quad x<8-5\quad\Leftrightarrow\quad x<3$$

Man kan også gjerne gange eller dividere med et positivt tall.

$$4x\geq100\quad\Leftrightarrow\quad x\geq\frac{100}{4}\quad\Leftrightarrow\quad x\geq25$$

Hvis man vil gange eller dividere med et negativt tall må man vende ulikhetstegnet andre veien:

$$-5x>35\quad\Leftrightarrow\quad x<\frac{35}{-5}\quad\Leftrightarrow\quad x<-7$$

Når man løser ulikheter kan man ikke uten videre gange eller dividere med en ukjent (f.eks x). Man vet nemlig ikke om den er positiv eller negativ, og derfor vet man ikke om man må vende ulikhetstegnet eller ikke.

Ulikhetstegn og intervaller

Det er en sammenheng mellom om man bruker svakt eller sterkt ulikhetstegn, og om man har med åpne eller lukkede intervaller å gjøre.

$$\begin{array}{rcl}
2<x<4\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in]2;4[\\
2\leq x\leq4\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in[2;4]\\
x>8\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in ]8;\infty[\\
x\geq5\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in[5;\infty[.
\end{array}$$

Her er et par eksempler på løsning af ulikheter.

$$3x+17<5x-8$$

Først flytter vi x-ene over venstresiden og tallene over på høyresiden. Da vi bare legger til og trekker fra må vi ikke vende ulikhetstegnet.

$$\begin{array}{rcl}
3x-5x & < & -8-17 \Leftrightarrow\\
-2x & < & -25.
\end{array}$$

Nå dividerer vi med -2 på begge sider. Da -2 er negativt, betyr det at vi må vende ulikhetstegnet.

$$x>\frac{25}{2}=12,5.$$

Når er ulikheten løst. Man kan også skrive løsningen som

$$x\in\left]\frac{25}{2};\infty\right[.$$

En annen ulikhet er 

$$15x<10x^2$$

Selv om det står \(x\)'er på begge siden, kan vi ikke dividere med x, da vi ikke vet om \(x\) er positivt eller negativt. (eller evt. 0). Derfor begynner vi med å trekke \(10x^2\) fra på begge sider

$$15x-10x^2<0$$

Nå setter vi \(10x\) utenfor en parantes.

$$10x\cdot(1,5-x)<0$$

Nå har vi et produkt som skal være negativt. Det betyr at faktorene skal ha forskjellige fortegn.

La oss undersøke hvilke x-verdier dette gjelder.

Når \(x<0\), så er \(10x\) negativ, mens \(1,5-x\) er positiv. Derfor er deres produkt negativt.
Når \(x=0\), så er \(10x=0\) og så er produktet 0
Når \(0<x<1,5\) er \(10x\) positiv, og \(1,5-x\) er også positiv. Dermed er deres produkt positivt.
Når \(x=1,5\) er \(1,5-x=0\), og derved er produktet 0.
Når \(x>1,5\) er \(10x\) positiv og \(1,5-x\) er negativ. Dermed er deres produkt negativt.

Svaret er det \(x\)-verdiene som gir et negativt produkt. Vi kan skrive det opp på følgende måter:

$$x<0\quad\vee\quad x>1,5 \quad \Leftrightarrow \quad x\in]-\infty;0[\:\cup\:]1,5;\infty[.$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Ulikheter? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!