Trekanter og vinkler

Trekanter og utregninger av sider og vinkler har utgjort en viktig del av geometrien gjennom flere tusen år.

I dette kapittelet skal vi prøve å få styr på noen av de grunnleggende elementer ved trekantene.

Når vi med symboler skal omtale en trekant, så tegner vi først en liten trekant Δ, hvor vi deretter skriver navnene på de tre hjørner i trekanten. F.eks. ville man skrive

$$\triangle ABC $$

for å benevne denne trekanten

1-96

Det er smart å skrive det på den måten for å kunne skille to trekanter fra hverandre.

Vi pleier å betegne hjørnene i en trekant med store bokstaver, og de overfor liggende sider med små bokstaver

1-95

Vinklene i en trekant pleier vi å betegne med et vinkeltegn etterfulgt av hjørnets bokstav. F.eks.

$$\angle A$$

Noen ganger kan det  være flere vinkler fra samme hjørne. For å markere hvilken vinkel man snakker om, kan man etter vinkeltegnet skrive høyre vinkelbens endepunkt, hjørnet vinklen er i, og venstre vinkelbens endepunkt.

1-97

Her vil den blå vinkelen hete

$$\angle BAC$$

mens den røde vinkelen vil hete

$$\angle BAD$$

og den grønne vil hete

$$\angle ADB$$

Spissvinklede og stumpvinklede trekanter

En trekant er spissvinklet, hvis alle vinklene i den er spisse (det vil si under 90º)
Hvis en av vinklene er en stump (større enn 90º), kalles trekanten stumpvinklet.

1-104

Vinkelsum

Vinkelsummen i en trekant vil alltid være 180 grader. Argumentet for at det er slik er følgende tegning.

1-98

Det er tydelig, at de tre vinklene over utgjør 180º. Den blå vinkelen over er tydeligvis like stor som den blå vinkelen i trekanten, fordi de er tegnet ut i fra to parallelle linjer. På samme måte er de to røde vinklene like store. Det er ikke like klart, at de to grønne vinklene er like, men det er de fordi de er toppvinkler (hvilket vi kommer tilbake til senere). Altså har vi at de tre vinklene i trekanten er like med de tre vinklene over, som tilsammen utgjør 180º. Derfor må de tre vinklene i trekanten sammenlagt være 180º.

Toppvinkler

Når man har å gjøre med to rette linjer som skjærer hverandre, er det snakk om toppvinkler. Toppvinkler er slik som v og w på tegningen under. Det gjelder at toppvinkler er like store.

1-99

Vi kan se at

$$u+v=180^\circ$$

og at

$$u+w=180^\circ$$

Hvis vi isolerer v i den første likningen og w i den neste får vi

$$v=180^\circ-u$$

$$w=180^\circ-u$$

Altså er v og w lik med det samme, og derfor er de like.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Trekanter og vinkler? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!