Tangens

Tangens er en trigonometrisk funksjon lik som cosinus og sinus. Det er også en funksjon, hvor man kommer en vinkel inn, men i motsetning til cosinus og sinus, hvor man kun kunne få et tall mellom -1 og 1, så kan man få alle reelle tall ut med tangens.

Tangens er definert til å være

$$\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}$$

Som et eksempel kan man beregne tangens til en vinkel på 35 grader slik

$$\tan(35)=\frac{\sin(35)}{\cos(35)}=\frac{0,574}{0,819}=0,700$$

Bemærk deg, at mens man må komme alle vinkler inn i cosinus og sinus, så er det noen forbudte verdier for tangens. Tangens er nemlig definert som en brøk, og i en brøk må nevneren aldri gi 0. Så de vinkler, som gjør at nevneren (cos(v)) gir 0 er forbudte.

Ved å se på enhetssirkelen kan man se at de vinkler som gir cos(v)=0 er

$$90^\circ,\: 270^\circ,\: 450^\circ,\:630^\circ.\,.\,.$$

hvor man legger 180 til hver gang.

Akkurat som cosinus og sinus kunne visualiseres ved hjelp av enhetssirkelen, så kan tangens også leses av på en slik tegning. Man starter med at tegne inn linjen x=1, altså en loddrett linje, som tangerer enhetssirkelen i punktet (1, 0). Så ser man på hvor venstre vinkelbein skjærer denne linjen. Skæringspunktets y-koordinat er
tangens til vinkelen.

1-110

Det er ikke umiddelbart klart hvorfor det forholder seg slik. Trikset for å gjennomskue det, er at den blå og den røde trekanten på tegningen nedenfor er envinklede

1-111

Vi vil gjerne vise at det som kalles "t" på tegningen, er det samme som tangens til v.

Vi ser at cos(v) i den røde trekanten er ensliggende med 1 i den blå, og at sin(v) i den røde trekanten er ensliggende med t i den blå.

Da den røde og den blå trekanten er ensvinklede, er forholdet mellom to sider i den røde trekanten det samme som forholdet mellom de to ensliggende sidene i den blå trekanten.

Altså har vi

$$\frac{\sin(v)}{\cos(v)}=\frac{t}{1}=t$$

men vi har også at

$$\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}$$

og derfor er

$$\tan(v)=t$$

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Tangens? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!