Cosinus, Sinus og Tangens i retvinklede trekanter

I de forrige avsnittene så vi hvordan man definerer cosinus, sinus og tangens. I dette avsnittet skal vi se hvordan man kan bruke dem til å beregne sider og vinkler i rettvinklede trekanter.

Det viser seg nemlig, at hvis v er en vinkel i en rettvinklet trekant, så vil

$$\cos(v)=\frac{\text{sammenhengende katet}}{\text{hypotenusen}}$$

$$\sin(v)=\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}}$$

$$\tan(v)=\frac{\text{motstående katet}}{\text{sammenhengende katet}}$$

Grunnen til at det er slik, er at hvis vi har en rettvinklet trekant ΔABC (som den blå nedenfor), kan vi tegne den inn i et koordinatsystem sammen med en enhetssirkel, slik at vinkel A er i origo.

1-112

Den røde trekanten på tegningen har sidelengdene cos(A), sin(A) og 1, (fordi linjestykket fra A til Per en radius på enhetssirkelen og derfor har lengde 1)

Nå kan vi se at vår opprinnelige trekant (den blå) er envinklet med den røde (fordi de begge inneholder vinkel A og begge har en rett vinkel, så deres tredje vinkel er også nødt til å være lik).

Vi kan se, at

cos(A) er lik med b,

sin(A) er lik med a,

og 1 er lik med c.

Nå bruker vi egenskapen ved ensvinklede trekanter, at forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik som forholdet mellom de ensliggende sider i den andre trekanten.

$$\frac{\cos(A)}{1}=\frac{b}{c}\Leftrightarrow\cos(A)=\frac{b}{c}$$

$$\frac{\sin(A)}{1}=\frac{a}{c}\Leftrightarrow\sin(A)=\frac{a}{c}$$

Vi kan også finne tangens til A:

$$\tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}=\frac{a:c}{b:c}=\frac{a}{b}$$

Altså de samme formler, som vi skrev øverst (da a er modstående katet, b er sammenhengende katet og c er hypotenusen i den rettvinklede trekanten).

La oss ta noen eksempler.

Vi ønsker å finne v i følgende trekant.

1-113

Vi ser at vi kjenner den motstående kateten (motstående i forhold til vinkel v) og hypotenusen.

Derfor skal vi ha fatt i sinus.

$$\sin(v)=\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}}$$

$$\sin(v)=\frac{3}{5}=0,6$$

Nå tar vi sin-1 på begge sider for å finne frem til vinkelen.

$$v=\sin^{-1}(0,6)$$

$$v=36,87^\circ$$

Et annet eksempel:

Vi ønsker å bestemme hypotenusen i følgende trekant.

1-114

Vi kjenner den samenhengende kateten (sammenhengende i forhold til vinkelen), og ønsker å bestemme hypotenusen. Altså er det cosinus, vi skal ha fatt i.

$$\cos(v)=\frac{\text{sammenhengende katet}}{\text{hypotenusen}}$$

$$\cos(25^\circ)=\frac{5}{x}$$

$$x\cdot\cos(25^\circ)=5$$

$$x=\frac{5}{\cos(25^\circ)}$$

$$x\approx5,52$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Cosinus, Sinus og Tangens i retvinklede trekanter? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!