Cosinus og sinus

Enhetssirklen

Innenfor trigonometrien benytter man seg av en spesiell sirkel som kalles enhetssirklen. Det spesielle ved den er at den har sentrum i origo (dvs. punktet (0, 0)), og har radius 1.

1-107

Enhetssirklen er viktig fordi det er ut fra den, vi definerer funksjonene cosinus og sinus.

Cosinus og Sinus

Cosinus og Sinus er to funksjoner hvor man putter en vinkel inn, og hvor det deretter  kommer et tall mellom -1 og 1 ut. De kalles trigonometriske funksjoner fordi man kan bruke dem til å beregne ting som har med trekanter å gjøre.

Men hva er de egentlig for noen funksjoner?

Mens mange funksjoner er gitt direkte ved en forskrift, er cosinus og sinus gitt ut i fra enhetssirklen.

La oss kalle den vinkelen vi ønsker å putte inn i cosinus eller sinus, for v. Nå tegner vi vinkel v i samme koordinatsystem som en enhetssirkel. Vi plaserer v, så den har toppunkt i origo og har sitt høyre vinkelbein langs x-aksen. Det venstre vinkelbeinet vil skjære enhetssirklen i et punkt, som vi kaller Pv, retningspunktet. 

Koordinat-settet til Pv er simpelthen cos(v) og sin(v), slik at x-koordinatet er cos(v) og y-koordinatet er sin(v).

1-108

Så hvis du blir spurt hva sinus og cosinus er, kan du svare, at det simpelthen bare er koordinatsettet til et punkt på enhetssirkelen.

La oss prøve å tegne en vinkel på 35º

1-109

Hvis man kunne lese av meget presist, kunne man sett at

$$P_{35}(0.819,\,0.574)$$

hvilket betyr at

$$\cos(35^\circ)=0,819$$

$$\sin(35^\circ)=0,574$$

Der er ingen som kan lese av så presist. Så i praksis benytter man en kalkulator, som har innebygde knapper for cosinus og sinus. 

Her er en tabel med noen av de viktige verdiene for cosinus og sinus.

Vinkel Cosinus Sinus
1 0
30° 0,866 0,5
45° 0,707 0,707
60° 0,5 0,866
90° 0 1
120° -0,5 0,866
135° -0,707 0,707
150° -0,866 0,5
180° -1 0
210° -0,866 -0,5
225° -0,707 -0,707
240° -0,35 -0,866
270° 0 -1
300° 0,5 -0,866
315° 0,707 -0,707
330° 0,866 -0,5
360° 1 0

cos-1 og sin-1

Det er også mulig å regne den andre veien. Hvis man har et tall mellom -1 og 1 og vil vite hvilken vinkel det er sinus- (eller cosinus-)verdi for, så kan man bruke funksjonene sin-1 eller cos-1 (som også finnes på kalkulatoren).

Hvis våres tall f.eks. er 0,574, og vi vil finne ut av hvilken vinkel, v, det er cosinus for, kan vi gjøre følgende.

$$
\begin{align}
\cos(v) &= 0,574 \Leftrightarrow\\
v &=\cos^{-1}(0,574) \\
v &=54,97^\circ
\end{align}$$

En annen måte å forklare det på er, at hvis man vil flytte cos over på den andre siden av likhetstegnet, så blir det til cos-1. Akkurat det samme som at pluss blir til minus, og gange til dividere, når man flytter det over likhetstegnet.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Cosinus og sinus? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!