Regnearternes egenskaper

Når vi regner med reelle tall, er det forskjellige egenskaper vi kan bruke.

Kommutativitet

En regneart er kommutativ, hvis resultatet er likt, uansett hvilket tall som står foran og bak regnetegnet. Generelt skrives den kommutative lov for addisjon som

$$a+b = b+a.$$

Et par eksempler er

$$4+3=7$$

$$3+4=7.$$

Vi får det samme resultat i begge tilfellene. Derfor er addisjon (pluss) altså kommutativ.
Det samme er multiplikasjon (gange). Generelt uttrykkes dette som

$$a\cdot b = b\cdot a.$$

F.eks. får vi det samme i dette tilfellet:

$$4\cdot2=8$$

$$2\cdot4=8.$$

Imidlertidig er de to andre regneartene (divisjon og subtraksjon) IKKE kommutative. Dette kan vi overbevise oss om med følgende eksempler:

$$8-5=3$$

$$5-8=-3$$

og

$$\frac{5}{2}=2,5$$

$$\frac{2}{5}=0,4$$

hvor rekkefølgen av tallene altså ikke er likegyldige.

Assosiativitet

Hvis man skal addere (legge) 3 (eller flere) tall sammen, er det likegyldig om man starter med å plusse de to første tallene sammen eller de to sisste. Generelt skrives dette som

$$(a+b)+c = a+(b+c).$$

Et par eksempler kunne være

$$(2+3)+4=5+4=9$$

$$2+(3+4)=2+7=9.$$

Denne egenskapen kalles assosiativitet.
Multiplikasjon (gange) er også assosiativ. Generelt uttrykkes dette som

$$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).$$

F.eks. kan vi se, at

$$(2\cdot3)\cdot4=6\cdot4=24$$

$$2\cdot(3\cdot4)=2\cdot12=24.$$

De to øvrige regnearter (divisjon og subtraksjon (minus)) er IKKE assosiative. F.eks. kan vi se, at

$$(4-2)-1=2-1=1$$

$$4-(2-1)=4-1=3$$

$$\frac{\left(\frac{10}{5}\right)}{2}=\frac{10}{5\cdot2}=1$$

$$\frac{10}{\left(\frac{5}{2}\right)}=\frac{10\cdot2}{5}=4.$$

Distributivitet

Den distributive lov handler om hvordan man ganger inn i en parantes.
Den sier

$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$$

Her er et eksempel på den distributive lov:

$$2\cdot(3+4)=2\cdot7=14$$

$$2\cdot3+2\cdot4=6+8=14 $$

Vi kan samle regneartenes egenskaper i et skjema

Egenskaper Addisjon Multiplikasjon
Sluttenhet a+b er et reelt tall ab er et reelt tall
Assosiativitet a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab)c
Kommutativitet a+b=b+a ab=ba
Distributivitet   a(b+c)=ab+ac
Invers-element a+(-a)=0 a\(\cdot\)(1/a)=1
Neutral-element a+0=a a\(\cdot\)1=a

Videoleksjon

 kommer

Har du et spørsmål, du vil stille om Regnearternes egenskaper? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!