Primtall

Alle positive heltall kan skrives som et produkt av 1 og seg selv. F.eks.

$$42=1\cdot42.$$

Det betyr at 1 er det multiplikative nøytrale element (se regnearternes egenskaper).

Noen tall kan også skrives som et produkt av andre faktorer. F.eks.

$$42=2\cdot21$$

$$\mathrm{eller}$$

$$42=2\cdot3\cdot7$$

Tallene 2, 3 og 7 kan dog ikke skrives som faktorer av andre tall. Tall som ikke kan faktoriseres, og derfor kun har divisorerne 1 og seg selv, kalles for primtall. Et tall \(p\), større enn 1, hvor det handler om at den eneste faktorisering av \(p\) er

$$p=1\cdot p$$

er et primtall.

Her er en liste over alle primtall mindre enn 100:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, \\ 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.$$

Alle tall som ikke selv er primtall, kalles sammensatte tall, fordi de kan skrives som et produkt av primtall. Dette kalles en primfaktorisering av tallet. Faktisk kan alle sammensatte tall primfaktoriseres på én og kun én måte. F.eks. er primfaktoriseringen av 42

$$42=2\cdot3\cdot7$$

og primfaktoriseringen av 24 er

$$24=2\cdot2\cdot2\cdot3.$$

Der finnes noen metoder, som gjør det lettere å primtallsfaktorisere. La oss se på noen av dem

Primtallsfaktorisering

De små primtalls tabeller

Hvis du skal primtallsfaktorisere et tall, kan man begynne med å se hvilke primtalls tabeller tallet inngår i. Man kan starte med å se om tallet er delelig med to. Hvis det ikke er tilfellet, kan man gå videre til 3, 5 osv. Hvis man finner et primtall, som et tall er delelig med, er dette primtallet en del av primfaktoriseringen. Denne prossessen fortsetter man med, inntill resultatet er et primtal.

La oss se på et eksempel: 

Vi vil primfaktorisere tallet 414, og starter med å dividere med 2: \(\frac{414}{2}=207\). Vi vet altså, at 2 inngår i primfaktoriseringen. Nå skal vi finne neste tall ved å primfaktorisere 207. Her får man ikke et heltall ved å dele på 2, men svaret blir i stedet 103,5. Tallet 207 er altså ikke delelig med 2-tabellen. Vi prøver med 3-tabellen i stedet: \(\frac{207}{3}=69\). Vi har nå funnet ut at både 2 og 3 inngår i primfaktoriseringen. Tallet 69 er ikke et primtall, så vi går videre med å primfaktorisere dette. Da 69 ikke er et partall, inngår det ikke i 2-tabellen, så vi prøver med 3-tabellen: \(\frac{69}{3}=23\). Vi har nå funnet ut at 2, 3 og 3 inngår i primfaktoriseringen. Da 23 også er et primtall, er vi ferdige, og den endelige primfaktorisering av 414 = \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23\).

Huske tall fra tabeller

Hvis man skal primfaktorisere et tall som fx 90, behøver man ikke å starte med de små tabellene som ovenfor, hvis man kan huske at man får 90 ved å gange 9 og 10 sammen. Deretter kan man primfaktorisere 9 og 10: 9 = \(3\cdot3\) og 10 = \(2\cdot 5\). Altså er primfaktoriseringen: 90 = \(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\).

Har du et spørsmål, du vil stille om Primtall? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!