Potenser

I stedet for å skrive den samme matematiske operasjonen mange ganger på rad, kan det være smart med en snarvei. F.eks. kan vi skrive

$$5\cdot4$$

i stedet for

$$5+5+5+5$$

Multiplikasjon er altså en kort skrivemåte for å plusse med det samme tallet mange ganger. På samme måte finnes det en kort skrivemåte for å gange med det samme tallet mange ganger.

$$5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4$$

54 leses som "5 opphøyd til fjerde potens" eller bare "5 i fjerde" og betyr ganske enkelt 5 ganget med seg selv 4 ganger. Et tall skrevet på denne måten kalles en potens. 5 er grunntallet og 4 er eksponenten.

$$\text{grunntalt}^{\text{eksponent}}=\text{potens}$$

Det finnes mange potensregneregler, som det er bra å lære seg. Vi presenterer først et eksempel, og så skriver vi den generelle regelen

Regelen for multiplikasjon av to potenser med samme grunntall

$$7^2\cdot7^3=(7\cdot7)\cdot(7\cdot7\cdot7)=7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7=7^5$$

Dette kan også skrives som

$$7^2\cdot7^3=7^{2+3}=7^5$$

Generelt lyder reglen

$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$

Med andre ord sier vi at ved multiplikasjon av potenser (med samme grunntall) legges eksponentene sammen.

Regelen for dividering av to potenser med samme grunntall

$$\frac{6^5}{6^2}=\frac{6\cdot6\cdot6\cdot\not6\cdot\not6}{\not6\cdot\not6}=\frac{6\cdot6\cdot6}{1}=6^3$$

Dette kan også skrives som

$$\frac{6^5}{6^2}=6^{5-2}=6^3$$

Generelt lyder reglen

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Med andre ord sier vi at ved dividering av potenser (med samme grunntall) trekkes eksponentene fra hverandre.

Regelen for potenser av potenser

$$(11^3)^4=11^3\cdot11^3\cdot11^3\cdot11^3$$

Ved bruk av regelen for multiplikasjon av potenser får vi nå

$$11^3\cdot11^3\cdot11^3\cdot11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$

Vi kan også skrive det som

$$(11^3)^4=11^{3\cdot4}=11^{12}$$

Den generelle regelen lyder som følger

$$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$

Med andre ord sier vi at når vi tar en potens av en potens, ganger vi eksponentene.

Regelen for potens av et produkt

$$(2x)^3=2x\cdot2x\cdot2x=2\cdot2\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x=2^3x^3$$

Vi kan også skrive dette som

$$(2x)^3=2^3\cdot x^3$$

Generelt er formelen

$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Regelen for potens av en brøk

$$\left(\frac{2}{5} \right )^3=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}$$

Vi ganger brøkene sammen og får

$$\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2\cdot2\cdot2}{5\cdot5\cdot5}=\frac{2^3}{5^3}$$

Vi kan sammenfatte ovenstående til

$$\left ( \frac{2}{5} \right )^3=\frac{2^3}{5^3}$$

Den generelle regelen er

$$\left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}\quad,\quad b\neq0$$

Negative eksponenter

Ovenfor har vi forklart hva en positiv eksponent betyr. Det er antallet ganger man skal gange grunntallet med seg selv. Men hva betyr en negativ eksponent?
La oss prøve å belyse det med et eksempel. Vi betrakter brøken 

$$\frac{3^2}{3^6}$$

Først regner vi den om til en potens.

$$\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}$$

Men vi kan jo også regne brøken ut på en annen måte

$$\frac{3^2}{3^6}=\frac{\not3\cdot\not3}{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot\not3\cdot\not3}=\frac{1}{3^4}$$

Brøken er altså både lik med 3-4 og med 1/34. Derfor må de to være de samme.

$$3^{-4}=\frac{1}{3^4}$$

Generelt kan vi skrive

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad,\quad a\neq0$$

Et viktig særtilfelle av denne regelen er

$$a^{-1}=\frac{1}{a}\quad,\quad a\neq0$$

Eksponenten null

Nå har vi styr på de positive og negative eksponentene. Men hva hvis eksponenten er 0? La oss se på et eksempel. Vi betrakter brøken

$$\frac{5^3}{5^3}$$

Vi bruker regneregelen for dividering av potenser med samme grunntall og får

$$\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$$

Men samtidig vet vi at en brøk med det samme tallet i teller og nevner gir 1

$$\frac{5^3}{5^3}=1$$

Så brøken er både lik med 50 og med 1. Altså må de være lik hverandre

$$5^0=1$$

Generelt kan vi skrive

$$a^0=1,\quad a\neq0$$

Oversikt

$$\begin{align*} a^n=&\underbrace{a\cdot a\cdot.\,.\,.\,\cdot a}_{n\, gange}\\\\a^n\cdot a^m&=a^{n+m}\\\\\frac{a^m}{a^n}&=a^{m-n}\\\\(a^m)^n&=a^{m\cdot n}\\\\(a\cdot b)^n&=a^n\cdot b^n\\\\\left ( \frac{a}{b} \right )^n&=\frac{a^n}{b^n}\quad,\quad b\neq0\\\\a^{-n}&=\frac{1}{a^n}\quad,\quad a\neq0\\\\a^{-1}&=\frac{1}{a}\quad,\quad a\neq0\\\\a^0&=1,\quad a\neq0 \end{align*}$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Potenser? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!