Kvadratsetningene

Kvadratsetningene bruker man ofte, når man skal redusere et uttrykk. De omhandler hva som skjer, når man ganger to paranteser med hverandre, som inneholder de samme tallene.

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$

$$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Med ord kan man sammenfatte den første kvadratsetning til "kvadratet på en to-leddet størrelse er lik kvadratet på det første leddet pluss kvadratet på det andre leddet pluss det dobbelte produkt".

Den andre kvadratsetningen kan sammenfattes til "kvadratet på en to-leddet størrelse er lik med kvadratet på det første leddet pluss kvadratet på det andre leddet minus det dobbelte produkt".

Den tredje kvadratsetningen kan med ord beskrives som "produktet av to talls sum og de samme to talls differens er kvadratet på det første leddet minus kvadratet på det andre leddet".

Eksempler på de tre kvadratsetningene kunne vært

$$(3+x)^2=3^2+x^2+2\cdot3\cdot x=9+x^2+6x$$

$$(x-5)^2=x^2+5^2-2\cdot x\cdot5=x^2+25-10x$$

$$(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$$

Men hvordan kan det egentlig være, at de tre kvadratsetningene ser ut som de gjør?
Det oppnås ganske enkelt ved å gange to paranteser med hverandre. 

La oss se på den første regelen.

$$(a+b)^2=({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}+{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple} b}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple} b}$$

$$=a^2+ab+ba+b^2=a^2+b^2+2ab$$

Og den andre:

$$(a-b)^2=({\color{Red} a}-{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple}b})={\color{Red} a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Magenta}{ (-b)}}\cdot {\color{Purple} {(-b)}}$$

$$=a^2-ab-ba{\color{Orange}{ \:+\:}}b^2=a^2+b^2-2ab\\$$

Her har det orange plusset blitt oppnådd ved at minus ganger minus gir pluss (se avsnittet om negative tall).

Den tredje kvadratsetningen har også forekommet ved å gange to parenteser med hverandre

$$({\color{Red} a}+{\color{Magenta} b})({\color{Blue} a}-{\color{Purple} b})={\color{Red}a}\cdot {\color{Blue} a}+{\color{Red} a}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}+{\color{Magenta} b}\cdot{\color{Blue} a}+{\color{Magenta} b}\cdot {\color{Purple}{ (-b)}}$$

$$=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$$

Kvadratsetninger og ligningsløsning

Man kan noen ganger løse ligninger ved å bruke kvadratsetningene. 

Hvis man f.eks. har ligningen

$$x^2+9=6x$$

Kan du begynne med å flytte 6x på den andre siden av likhetstegnet.

$$x^2+9-6x=0$$

så kan man regne på venstresiden

$$x^2+9-6x=x^2+3^2-2\cdot3\cdot x$$

og så kan vi bruke den andre kvadratsetningen "baklengs" for å samle uttrykket.

$$x^2+3^2-2\cdot3\cdot x=(x-3)^2$$

Nå er likningen vår 

$$(x-3)^2=0$$

og for at venstresiden gir 0, skal x være 3.
Altså er løsningen x=3.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Kvadratsetningene? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!