Kvadratrøtter og andre røtter

Røtter er det omvendte av potenser. Feks. Kan vi si

$$\sqrt{9}=3\quad \mathrm{fordi} \quad 3^2=9$$

$$\sqrt[3]{125}=5\quad \mathrm{fordi} \quad 5^3=125.$$

Kvadratrøtter

Fordi kvadratroten av 9 er 3, og 32 er 9, kan vi skrive:

$$\left (\sqrt{9} \right )^2=9.$$

Eller generelt

$$\left (\sqrt{a} \right )^2=a,\qquad a>0.$$

På den måten kan man si at kvadratroten og "i andre potens" går ut med hverandre.

Hvis vi husker på potensregnereglene kan vi se, at

$$(9^{\frac{1}{2}})^2=9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9.$$

Nå har vi, at både \(9^{1/2}\) og \(\sqrt{9}\), når vi opphøyer det til andre potens, gir 9. Dermed må de to være de samme.

$$\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}.$$

Generelt har vi at

$$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}},\qquad a>0.$$

Da kvadratroten kan skrives om til en potens, betyr det at alle potensregnereglene også gjelder for kvadratrøtter.

Definisjonen av kvadratroten

Kvadratroten av et tall, \(a\), er defineret som det ikke-negative tallet, den ganget med seg selv gir \(a\). Derfor er kvadratroten av 9 lik  3, selvom både \((-3)^2\) og \(3^2\) gir 9. Ved å definere kvadradroten på denne måten, sikrer man bl.a at kvadratrotsfunksjonen er entydig definert.

Kvadratroten av 0

Man kan godt ta kvadratroten av 0. \(\sqrt{0}=0\), samme som at \(0^{\frac{1}{2}}=0\).

Andre røtter

Når man finner kvadratroten av et tall \(a\) handler det om å finne et tall, som ganget med seg selv gir \(a\). Dette kan man utvide. Kubikkroten, \(k\), av \(a\) er det tallet, som ganget med seg selv to ganger gir \(a\): \(k\cdot k\cdot k=a\). Den fjerde roten av \(a\) er det tallet, som ganget med seg selv 3 ganger gir \(a\). osv. Når vi skal finne kubikkroten av \(a\), skriver vi \(\sqrt[3]{a}\), og når vi skal finne den fjerde roten, skriver vi \(\sqrt[4]{a}\). Vi skriver ikke 2 over rottegnet, når vi skal finne en kvadratrot.

$$\sqrt[3]{8}=2\quad \mathrm{fordi} \quad 2^3=8$$

$$\sqrt[4]{81}=3\quad \mathrm{fordi} \quad 3^4=81.$$

Samme som at man kan skrive kvadratroten om til en potens, kan man også skrive alle andre røtter om til potenser.

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}.$$

Bemærk, at da alle røtter kan skrives om til potenser, så gjelder potensregnereglene for alle røtter.

Roten av en potens

Hvis vi tar den n'te roten av a får vi selvfølgelig a

$$\sqrt[n]{a^n}=(a^n)^\frac{1}{n}=a^{n\cdot\frac{1}{n}}=a^1=a.$$

Men hva nå, hvis roten og eksponenten er forskjellige?

$$\sqrt[3]{4^2}=\: ?$$

Vi skriver om roten til en potens.

$$\sqrt[3]{4^2}=(4^2)^\frac{1}{3}=4^{2\cdot\frac{1}{3}}=4^\frac{2}{3}.$$

Generelt har vi regelen

$$\sqrt[q]{a^p}=a^\frac{p}{q}.$$

Regneregler for røtter

Vi skriver om noen av potensregnereglene, så vi også kan bruke dem med røtter.

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

$$a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}.$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Kvadratrøtter og andre røtter? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!