Ulikheter

Når man løser likninger, har man en venstreside og en høyreside, og mellom dem er det et likhetstegn, =. Når vi skal løse ulikheter, er det fire forskjellige ulikhetstegn, vi skal holde styr på.

\( x\leq y \) "\(x\) er mindre enn eller lik \(y\)"

\( x\geq y \) "\(x\) er større enn eller lik \(y\)"

\( x < y \) "\(x\) er mindre enn \(y\)"

\( x > y \) "\(x\) er større enn \(y\)"

Hvis man er i tvil om, hva som betyr hva, så kan man se ulikhetstegnet som en krokodillemunn, som alltid vil spise den største verdien.

En ulikhet består av en venstreside, en høyreside og et av de fire ulikhetstegnene mellom.

Regneregler for ulikheter

Når man skal løse en ulikhet, så må man legge til eller trekke fra på begge sider av ulikhetstegnet.

$$x+5<8\quad\Leftrightarrow\quad x<8-5\quad\Leftrightarrow\quad x<3$$

Man må også gange eller dividere med et positivt tall.

$$4x\geq100\quad\Leftrightarrow\quad x\geq\frac{100}{4}\quad\Leftrightarrow\quad x\geq25$$

Hvis man vil gange eller dividere med et negativt tall, så skal man snu ulikhetstegnet.

$$-5x>35\quad\Leftrightarrow\quad x<\frac{35}{-5}\quad\Leftrightarrow\quad x<-7$$

Når man løser ulikheter, kan man ikke uten videre gange eller dividere med en ukjent (f.eks. x). Man vet nemlig ikke om den er positiv eller negativ, og derfor vet man ikke om man skal vende ulikhetstegnet eller ikke.

Ulikhetstegn og intervaller

Det er en sammenheng mellom om man bruker svakt eller skarpt ulikhetstegn, og om man har med åpne eller lukkede intervaller å gjøre.

$$\begin{array}{rcl}
2<x<4\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in]2;4[\\
2\leq x\leq4\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in[2;4]\\
x>8\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in ]8;\infty[\\
x\geq5\quad & \Leftrightarrow & \quad x\in[5;\infty[.
\end{array}$$

Her er et par eksempler på løsninger av ulikheter.

$$3x+17<5x-8$$

Først flytter vi x-ene på venstresiden og tallene på høyresiden. Da vi bare legger til og trekker fra, skal vi ikke snu likhetstegnet

$$\begin{array}{rcl}
3x-5x & < & -8-17 \Leftrightarrow\\
-2x & < & -25.
\end{array}$$

Nå dividerer vi med -2 på begge sider. Da -2 er negativt, betyr det at vi skal snu ulikhetstegnet

$$x>\frac{25}{2}=12,5.$$

Nå er ulikheten løst. Man kan også skrive løsningen som

$$x\in\left]\frac{25}{2};\infty\right[.$$

En annen ulikhet er

$$15x<10x^2$$

Selvom, det står \(x\)'er på begge sider, kan vi ikke dividere med x, da vi ikke vet om \(x\) er positiv eller negativ (eller evt. 0).
Derfor starter vi med å trekke \(10x^2\) fra på begge sider

$$15x-10x^2<0$$

Nå setter vi \(10x\) utenfor en parantes

$$10x\cdot(1,5-x)<0$$

Nå har vi et produkt, som skal være negativt. Det betyr, at faktorene skal ha forskjellige fortegn.

La oss se hvilke x-verdier dette gjelder for.

Når \(x<0\), så er \(10x\) negativ, mens \(1,5-x\) er positiv. Derfor er deres produkt negativt.
Når \(x=0\), så er \(10x=0\) og så er produktet 0
Når \(0<x<1,5\) er \(10x\) positiv, og \(1,5-x\) er også positiv. Dermed er deres produkt positivt.
Når \(x=1,5\) er \(1,5-x=0\), og dermed er produktet 0.
Når \(x>1,5\) er \(10x\) positiv og \(1,5-x\) er negativ. Dermed er deres produkt negativt.

Svaret er de \(x\)-verdier, som gir et negativt produkt. Vi kan skrive det opp på følgende måter:

$$x<0\quad\vee\quad x>1,5 \quad \Leftrightarrow \quad x\in]-\infty;0[\:\cup\:]1,5;\infty[.$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Ulikheter? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!