To likninger med to ukjente

Likninger brukes til å løse problemer fra virkeligheten, og her inngår det flere ukjente enn bare en. Forestill deg en godteributikk, hvor du får vite at hvis du kjøper 3 kjærligheter på pinne og 4 godteriposter, koster det 35 kr, og hvis du i stedet kjøper 4 kjærligheter på pinne og 2 godteriposer, så blir det 20 kr. Hvordan finner vi frem til hva prisen er på en kjærlighet på pinne? Og på en godteripose? Vi har her to ukjente (prisen på en kjærlighet på pinne (\(x\)) og prisen på en godteripose (\(y\))). Vi kan sette opp informasjonen som to likninger

$$\begin{array}{rcl}
3x+4y & = & 35 \\
4x+2y & = & 20.
\end{array}$$

Det finnes utallige metoder på å løse to likningene med to ukjente. Vi vil her gjennomgå tre av de viktigste.

Substitusjon

Substitusjonsmetoden går ut på å isolere en av de ukjente i en av likningene. Deretter kan man sette dette uttrykket inn i den andre likningen, og da har man kun en ukjent igjen. La oss prøve å bruke metoden på ligningene ovenfor. Vi tar utgangspunkt i den første likningen og isolerer \(y\).

$$\begin{array}{rcl}
3x+4y & = & 35 \Leftrightarrow\\
4y & = & 35-3x\Leftrightarrow\\
y & = & \frac{35-3x}{4}.
\end{array}$$

Nå kan vi sette dette uttrykket for \(y\) inn i den andre likningen

$$\begin{array}{rcl}
4x+2y & = & 20 \Leftrightarrow\\
4x+2\cdot\left(\frac{35-3x}{4} \right) & = & 20.
\end{array}$$

Nå er det kun én ukjent igjen (\(x\)), og vi løser likningen på vanlig vis

$$\begin{array}{rcl}
4x+2\cdot\left (\frac{35-3x}{4} \right ) & = & 20 \Leftrightarrow\\
4x+\frac{70-6x}{4} & = & 20 \Leftrightarrow\\
4x+\frac{70}{4}-\frac{6x}{4} & = & 20 \Leftrightarrow\\
\frac{5}{2}x+\frac{35}{2} & = & 20 \Leftrightarrow\\
\frac{5}{2}x & = & 20-\frac{35}{2} \Leftrightarrow\\
\frac{5}{2}x & = & \frac{5}{2} \Leftrightarrow\\
x & = & 1.
\end{array}$$

Nå vet vi at \(x\) skal være 1. Dvs at prisen på en kjærlighet på pinne er 1 kr. Men vi mangler fortsatt å finne prisen på en godteripose. Heldigvis fant vi jo tidligere frem til et uttrykk for \(y\), hvor vi nå kan sette inn verdien for \(x\)

$$\begin{array}{rcl}
y & = & \frac{35-3x}{4} \Leftrightarrow\\
y & = & \frac{35-3\cdot1}{4} \Leftrightarrow\\
y & = & \frac{32}{4} \Leftrightarrow\\
y & = & 8.
\end{array}$$

Altså er prisen på en godteripose 8 kr. Vi kan prøve å sette \(x=1\) og \(y=8\) i våres opprinnelige likninger for å sjekke, om det er det riktige svaret

$$3x+4y=3\cdot1+4\cdot8=3+32=35$$

$$4x+2y=4\cdot1+2\cdot8=4+16=20,$$

og det er det heldigvis.

Like store koeffisienters metode

Koeffisientene er de tallene som står foran \(x\)'ene og \(y\)'ene i en likning. I denne metoden omformer vi de to likningene, slik at koeffisientene foran en av de to variablene er like. Deretter legger vi de to likningene sammen eller trekker dem fra hverandre. På den måten forsvinner den ene variablen, og vi står igjen med en vanlig likning. La oss prøve med eksemplet ovenfor.

$$3x+4y=35$$

$$4x+2y=20$$

Vi ganger den nederste likningen med 2 (det vil si ganger med 2 på begge sider av likhedstegnet) for å oppnå 4 som koeffisient foran y.

$$\begin{array}{rcl}
2\cdot(4x+2y) & = & 2\cdot20 \Leftrightarrow\\
8x+4y & = & 40.
\end{array}$$

Nå har vi de to likningene:

$$3x+4y=35$$

$$8x+4y=40$$

Vi ser at y har koeffisienten 4 i begge likninger. Nå trekker vi dem fra hverandre.

$$(3x+4y)-(8x+4y)=35-40$$

Og ved å redusere litt får vi

$$\begin{array}{rcl}
3x + 4y-8x-4y & = & 35-40 \Leftrightarrow\\
3x-8x & = & -5 \Leftrightarrow\\
-5x & = & -5 \Leftrightarrow\\
x & = & 1.
\end{array}$$

Igjen kom vi frem til at prisen på en kjærlighet på pinne er 1 kr. Nå finner vi \(y\) (prisen på en godteripose) ved å sette x-verdien inn i en av de to opprinnelige likningene; vi bestemmer helt selv hvilken, fordi det ALLTID vil gi samme resultat. Vi velger den første

$$\begin{array}{rcl}
3x+4y & = & 35 \Leftrightarrow\\
3\cdot1+4y & = & 35 \Leftrightarrow\\
4y & = & 35-3 \Leftrightarrow\\
y & = & \frac{32}{4} = 8
\end{array}$$

og så har vi kommet frem til at prisen på en godteripose er 8 kr.

Determinant-metoden

Determinant-metoden er i realiteten det samme som "like store koeffisienters" metoden, men vi vil her stille likningene opp i en bestemt orden og i en bestemt rekkefølge. I motsetning til de to foregående metodene vil vi her starte med to generelle likninger da det illustrerer metoden bedre.

Vi starter med å skrive de to generelle likningene med to ukjente \(x\) og \(y\)

$$\begin{align}
a_1 x + b_1 y & = c_1 \\
a_2 x + b_2 y & = c_2.
\end{align}$$
Her er \(a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\) konstanter som vi i prinsippet kjenner, da vi får dem oppgitt i det konkrete eksempelet. Hvis vi f.eks. ser på eksemplet ovenfor med kjærlighet på pinne og godteriposer så kan vi identifisere disse konstantene slik

$$\begin{array}{rcl}
\overbrace{3}^{a_1}x+\overbrace{4}^{b_1}y & = & \overbrace{35}^{c_1} \\
\underbrace{4}_{a_2}x+\underbrace{2}_{b_2}y & = & \underbrace{20}_{c_2} \ .
\end{array}$$

Hvis vi så benytter fremgangsmetoden fra "like store koeffisienters" metoden kan vi gange alle leddene i den første likningen med \(a_2\) samt alle ledd i den andre likningen med \(a_1\) hvor vi får følgende to likninger (hvor vi også har samlet \(x\)'ene alene på venstre side og resten på høyre side av likhedstegnet)

$$\begin{align}
a_1a_2 x & = a_2c_1 - a_2b_1 y \\
a_1a_2 x & = a_1c_2 - a_1b_2 y.
\end{align}$$

Nå kan vi se at de to likningenes venstreside er lik, hvilket vil si at høyresiden av de to likninger er lik det samme. Vi kan derfor sette høyresiden av den øverste likningen lik med høyresiden av den nederste likningen hvor vi får likningen

$$\begin{align}
a_2c_1 - a_2b_1 y & = a_1c_2 - a_1b_2 y.
\end{align}$$

Vi kan nå samle alle leddene hvor \(y\) inngår på venstresiden og resten på høyresiden 

$$\begin{align}
a_1b_2 y - a_2b_1 y & =a_1c_2 - a_2c_1 .
\end{align}$$

Så kan vi sette \(y\) utenfor en parantes

$$\begin{align}
y(a_1b_2 - a_2b_1) & = a_1c_2 - a_2c_1 ,
\end{align}$$

og så dele med parantesen på begge sider av likhedstegnet hvor vi får følgende uttrykk for \(y\)

$$\begin{align}
y & = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} .
\end{align}$$

Vi kan nå gjennomgå samme beregninger for \(x\), hvor vi i stedet for å gange likningene med hhv. \(a_1\) og \(a_2\) skulle gange med hhv. \(b_1\) og \(b_2\). Gjøres dette får man følgende uttrykk for \(x\)

$$\begin{align}
x & = \frac{b_2c_1 - b_1c_2}{a_1b_2 - a_2b_1} .
\end{align}$$

Vi vil nå innføre to nye begreper; matrix og determinant. En matrix skrives matematisk som

$$
\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2
\end{bmatrix}
$$

og består av to rekker (som inneholder hhv. \(a_1\) og \(b_1\) samt \(a_2\) og \(b_2\)) og to søyler (som inneholder hhv. \(a_1\) og \(a_2\) samt \(b_1\) og \(b_2\)). Determinanten av en matrix betegner vi med bokstaven \(D\) og den beregnes på følgende måte 

$$\begin{align}
D & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1.
\end{align}$$

Bemerk at den firkantede parantesen før vi avsluttet matrixen ble endret til to loddrette streker. Dette er en ofte brukt metode til å visualisere om man snakker om en matrix eller om determinanten av en matrix. Bemerk dessuten at måten vi beregnet determinanten av en matrix med 2 søyler og 2 rekker var ved å ta øverste venstre inngang (\(a_1\)) og gange med nederste høyre inngang (\(b_2\)) hvor vi trekker nederste venstre inngang (\(a_2\)) ganget med øverste høyre inngang (\(b_1\)) fra. 
\(\hspace{10pt}\) Når det gjelder uttrykket for \(x\) og \(y\) kan vi identifisere determinanten \(D\) beregnet ovenfor som nevneren i begge uttryk. Vi er også i stand til å konstruere to nye matriser \(D_x\) og \(D_y\) på følgende måte

$$\begin{align}
D_x & = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1\\[0.5em]
D_y & = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1
\end{align}$$

hvor vi kan identifisere \(D_x\) som telleren i uttrykket for \(x\) samt \(D_y\) som telleren i \(y\). Til sist kan vi nå skrive uttrykkene for \(x\) og \(y\) på følgende lette og overskuelige måte vha. ovenstående 3 determinanter

$$\begin{align}
x = \frac{D_x}{D} \quad , \quad y = \frac{D_y}{D}.
\end{align}$$

Eksempel

Nå når vi har fått etablert teorien for determinant-metoden kan vi ta utgangspunkt i eksemplet med å regne ut stykkprisen for en kjærlighet på pinne og godteriposer brukt i de to foregående metoder. 

Vi har som sagt likningssystemet

$$\begin{align}
3x+4y & = 35 \\
4x+2y & = 20
\end{align}$$

hvor vi identifiserte de forskjellige konstanter. Vi kan derfor skrive de tre determinant-uttrykkene som følgende

$$\begin{align}
D & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 3\cdot2 - 4\cdot4 = -10 \\[0.5em]
D_x & = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 35 & 4 \\ 20 & 2 \end{vmatrix} = 35\cdot2 - 20\cdot4 = -10 \\[0.5em]
D_y & = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 35 \\ 4 & 20 \end{vmatrix} = 3\cdot20 - 4\cdot35 = -80.
\end{align}$$

Nå kan vi beregne verdiene for \(x\) og \(y\) som løser likningssystemet til

$$\begin{align}
x & = \frac{D_x}{D} = \frac{-10}{-10} = 1 \\[0.5em]
y & = \frac{D_y}{D} = \frac{-80}{-10} = 8,
\end{align}$$

hvilket er akkurat den samme løsning som de to andre metoder ga. 

 

Har du et spørsmål, du vil stille om To likninger med to ukjente? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!