Numeriske likninger

Numerisk verdi

Når man jobber med numeriske likninger, er man nødt til å vite hva den "numeriske verdi av et tall" betyr. La oss betrakte den reelle tallinjen:

Reel Tallinje

Tallene går fra \(- \infty\) til \(+\infty\), og 0 skiller de positive og negative tallene fra hverandre. Den numeriske verdi av et tall er lik tallets avstand fra 0. Sagt med andre ord: Den numeriske verdi av et tall er alltid selve tallet selv med positivt fortegn. 

Eksempler:

  • Den numeriske verdi av tallet \(-4\) er \(4\)
  • Den numeriske verdi av tallet \(-10\) er \(10\)
  • Den numeriske verdi av tallet \(5\) er \(5\)

I stedet for å skrive "den numeriske verdi av tallet -4" kan man skrive "\(|-4|\)" - de to vertikale strekene betyr "den numeriske verdi av".

Vi kan derfor skrive \(|-4| = 4\),   \(|-10| = 10\) og  \(|5| = 5\)

La oss generalisere disse eksemplene til en vilkårlig størrelse \(x\) og definere den numeriske verdien:

La \(x\) være et reelt tall. Da vil den numeriske verdi av tallet \(x\) være definert ut i fra følgende:

$$
|x| = \begin{cases} \phantom{-}x, & \mathrm{når} \; x\geq0 \; \mathrm{og} \\ -x, & \mathrm{når} \; x<0 . \end{cases}
$$

Denne definisjonen skal forstås (og leses) på følgende måte:
Den numeriske verdi av \(x\) er lik  \(x\) hvis \(x\) er større enn, eller lik 0. Hvis \(x\) er mindre enn 0, så er den numeriske verdi av \(x\) lik \({-x}\). 

I eksemplet over benyttet vi oss av denne definisjonen: 5 er eksempelvis større enn 0, så den numeriske verdi av 5 er 5. -10 er mindre enn 0, så den numeriske verdi av -10 er 10.

Numeriske likninger

Løser man en likning, hvor det inngår en numerisk verdi, er man nødt til å bruke denne definisjonen. Når vi skal til å løse numeriske likninger er vi nemlig nødt til å avgjøre hvilke verdier som er tillatte for \(x\) å anta. Dette intervallet av tillatte verdier for \(x\) kalles for definisjonsmengden for \(x\). I motsetning til allminnelige likninger, kan numeriske likninger ha mer enn 1 løsning. La oss ta utgangspunkt i et par eksempler. 

Eksempel 1

Vi ønsker å løse likningen 

$$
|7-x| = 4x+11,
$$

men før vi kan gå videre skal vi som sagt ha funnet ut av hvilke verdier \(x\) kan ha for de to forskjellige tilfellene, altså for hhv. \(7-x\geq0\) samt \(7-x<0\). Vi ser at

$$
|7-x| = \begin{cases} 7-x, & \mathrm{når} \; 7-x \geq 0 \Rightarrow 7\geq x \\ -(7-x), & \mathrm{når} \; 7-x < 0 \Rightarrow 7<x. \end{cases}
$$

Nå har vi funnet ut at hvis 7 er større enn, eller lik \(x\) (eller at \(x\) er mindre enn, eller lik 7), så kan vi fjerne det numeriske tegnet og bare skrive \(7-x\) på venstresiden. Hvis \(x\) er større enn 7 så skal vi skrive \(-(7-x)\) på venstresiden. Vi har altså nå to likninger vi kan løse for \(x\).
La oss starte med å anta at 7 \(\geq x\). Likningen vår kan da skrives som

$$\begin{align}
7-x & = 4x+11 \Leftrightarrow\\
-4 & = 5x \Leftrightarrow\\
x & = -\frac{4}{5} = -0,\!8 .
\end{align}$$

Hvis vi antar at \(x >\) 7 kan likningen skrives som

$$\begin{align}
-(7-x) & = 4x+11 \Leftrightarrow\\
-7+x & = 4x+11 \Leftrightarrow\\
-18 & = 3x \Leftrightarrow\\
x & = -\frac{18}{3} = -6.
\end{align}$$

La oss nå se på de to løsningene og se om en, eller begge, oppfyller vår antagelse om hvilke verdier \(x\) kan ha. Hvis vi ser på den siste løsningen først, så antok vi at \(x\) var  større enn 7, men da vi løste likningen, så skulle \(x\) være -6 for at den var oppfylt. Da -6 ikke er større enn 7 er dette ikke en gyldig løsning.  
\(\hspace{10pt}\)Ser vi derimot på den første løsningen, så antok vi at \(x\) var mindre enn, eller lik 7, og da vi løste likningen fant vi at \(x\) skulle være -0,8 for at den var oppfylt. Da -0,8 er mindre enn 7 er denne løsning gyldig og dermed kan vi konkludere at løsningen til den numeriske likningen

$$
|7-x| = 4x+11,
$$

er \(x =\) -0,8.

Eksempel 2

La oss ta enda et eksempel. Denne gangen skal vi løse likningen 

$$
|2x-13| = |{-2}-x|.
$$

Igjen skal vi ha funnet ut av hvilke intervaller \(x\) skal ligge i, men da vi før kun gjorde det på den ene siden, og fikk to intervaller, skal vi nå gjøre det på begge sider, hvilket vil gi oss tre intervaller for \(x\). La oss starte med venstresiden

$$
|2x-13| = \begin{cases} 2x-13, & \mathrm{når} \; 2x-13 \geq 0 \Rightarrow x \geq 6,\!5 \\ -(2x-13), & \mathrm{når} \; 2x-13 < 0 \Rightarrow x < 6,\!5 \end{cases}
$$

og så høyresiden

$$
|{-2}-x| = \begin{cases} {-2}-x, & \mathrm{når} \; {-2}-x \geq 0 \Rightarrow -2\geq x \\ -({-2}-x), & \mathrm{når} \; {-2}-x < 0 \Rightarrow -2<x. \end{cases} 
$$

Fra venstresiden fant vi at \(x\) enten skulle være større enn eller lik 6,5, eller mindre enn 6,5. Fra høyresiden fant vi derimot at \(x\) enten skulle være mindre enn eller lik med -2, eller større enn -2. Dette kan vi omformulere til tre intervaller for \(x\). 
\(\hspace{10pt}\) I det første intervallet krever vi at \(x\) er mindre enn, eller lik -2. 

\(\hspace{10pt}\)I det neste intervallet skal \(x\) både være større enn -2 og samtidig mindre enn 6,5. Dette skrives \(-2<x<6,\!5\). 
\(\hspace{10pt}\)Det siste intervallet krever at \(x\) er større enn eller lik  6,5. Som før kan vi nå løse likningen i disse tre tilfellene.

Først antar vi at \(x\leq-2\), hvilket gjør at vi kan skrive likningen som

$$\begin{align}
-(2x-13) & = -2-x \Leftrightarrow\\
-2x+13 & = -2-x \Leftrightarrow\\
15 & = x .
\end{align}$$

Så antar vi at \(-2<x<6,\!5\), hvor vi kan skrive

$$\begin{align}
-(2x-13) & = -(-2-x) \Leftrightarrow\\
-2x+13 & = 2 + x \Leftrightarrow\\
11 & = 3x \Leftrightarrow\\
x & = \frac{11}{3} \approx 3,\!67 .
\end{align}$$

Til slutt antar vi at \(x\geq6,\!5\) 

$$\begin{align}
2x-13 & = -(-2-x) \Leftrightarrow\\
2x-13 & = 2+x \Leftrightarrow\\
x & = 15 .
\end{align}$$

La oss nå se om løsningene oppfyller de kravene vi har for de verdiene \(x\) kan ha. 
\(\hspace{10pt}\)I det første tilfellet krevde vi at \(x\leq-2\) hvilket ga oss løsningen \(x=15\). Da 15 åpenbart ikke er mindre enn eller lik -2 er denne løsning ikke gyldig. 
\(\hspace{10pt}\)I det andre tilfellet krevde vi at \(-2<x<6,\!5\) hvilket ga oss løsningen \(x\approx3,\!67\). Da 3,67 er større enn -2 og mindre enn 6,5 er dette en gyldig løsning. 
\(\hspace{10pt}\)I det siste tilfellet krevde vi at \(x\geq6,\!5\) og fant løsningen \(x=15\). Da 15 er større end 6,5 er dette også en gyldig løsning og vi kan dermed konkludere at løsningen til likningen

$$
|2x-13| = |{-2}-x|
$$

er \(x \approx 3,\!67\) eller \(x= 15\). Dette kan også skrives mer matematisk korrekt som \(x \approx 3,\!67 \vee x = 15\). 

Eksempel 3

Vi vil løse likningen \(|x+3| = |20 - 4x|\):

Først bestemmes intervallerne for hhv. \(|x+3|\) og \(|20 - 4x|\):

Intervaller , Num Lign 

Dermed får vi fire forskjellige intervaller: \( x<-3\), \(x \geq -3\), \(x \leq 5\) og \(x>5\).

Hvis intervallene tegnes, ser man at det i realiteten kun er snakk om tre intervaller:

Intervaltallinje 

  • Det første intervallet er \(x<-3\), og det løses: \(-(x+3)=20-4x \implies x=7,67\). Denne løsningen ligger utenfor intervallet. 
  • Det andre intervallet er \(-3 \leq x \leq 5\). Dette løses på denne måten: \(x+3=20-4x \implies x=3,4\). Denne løsning ligger innenfor intervallet, så den forkastes ikke.
  • Det tredje intervallet er \(x>5\). Det løses på denne måten: \(x+3 = -(20-4x) \implies x=7,67\) Denne løsningen ligger nå innenfor intervallet, så den forkastes ikke. 
Har du et spørsmål, du vil stille om Numeriske likninger? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!