Likninger

En likning er et uttrykk, som inneholder et likhetstegn. F.eks. er

$$5x+3=48,\quad 54-2x=6,\quad x+45=3x$$

likninger.

Likninger vil typisk inneholde en ukjent, som vi kaller \(x\). Å løse likningen svarer til å finne ut av hva \(x\) skal være, for at det står det samme på høyre og venstre side av likhetstegnet. I det første eksempelet ovenfor er løsningen

$$x=9$$

fordi

$$5\cdot9+3=45+3=48$$

Løsning av likninger

Når vi skal løse likninger, kan det være greit å bruke noen triks for å nå frem til det riktige svaret. Den metoden, vi bruker heter "ekvivalente likninger". Det går ut på å omforme likningen vi har fremstilt, samtidig som vi sørger for at løsningene til den omformede likningen er de samme som til den opprinnelige.

Når vi omformer likninger, er det tillat å legge tall til eller trekke tall fra, så lenge man gjør det på begge sider av likhetstegnet.

$$\mathrm{Hvis}\quad5x+3=48\quad \mathrm{så} \ \mathrm{er} \quad 5x+3-3=48-3$$

$$\mathrm{dvs.}\ \mathrm{så} \ \mathrm{er}\quad 5x=45$$

Vi har her trukket 3 fra på begge sider av likhetstegnet. Løsningen er fortsatt x=9. Det er også tillatt å gange eller dividere med et tall på begge sider av likhetstegnet. Dog kan man hverken gange eller dividere med 0.

$$\mathrm{Hvis}\quad3x=39\quad \mathrm{så} \ \mathrm{er}\quad \frac{3x}{3}=\frac{39}{3}$$

$$\mathrm{dvs.} \ \mathrm{så} \ \mathrm{er}\quad x=13$$

Mange likninger kan vi løse utelukkende ved hjelp av disse enkle omformningsreglene.

$$\begin{array}{rcl}
3x+4 & = & x+3 \Leftrightarrow\\
3x+4-4 & = & x+3-4 \Leftrightarrow\\
3x-x & = & x-1-x \Leftrightarrow\\
2x & = & -1 \Leftrightarrow\\
\frac{2x}{2} & = & \frac{-1}{2} \Leftrightarrow\\
x & = & -\frac{1}{2}.
\end{array}$$

Likninger av høyere grad

De likningene som vi har sett ovenfor, kalles førstegradsligninger fordi det ikke er noen potenser av \(x\). Graden av en likning svarer til den høyeste eksponenten av x. F.eks. er

$$x^4=81$$

en fjerdegradslikning, og

$$2x^3-7=9$$

er en tredjegradslikning.

$$x^2+3x=0$$

er en andregradslikning. Likningen inneholder både et førstegradsledd (2\(x\)) og et annengradsledd (\(x^2\)), men så er det den høyeste eksponenten som bestemmer hvilken grad likningen har.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Likninger? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!