Grafisk løsning av to likninger med to ukjente

I noen tilfeller kan man løse to likninger med to ukjente ved bruk av grafer. Vi begynner med å isolere den ene variablen i begge likningene. Deretter tegner vi de to grafene inn i et koordinatsystem. Koordinatsettene til skæringspunktet/-ene er løsningen/-ene til likningssystemet.

La oss se på et eksempel. Likningene er

$$\begin{array}{rcl}
y & = & 3x+4\\
2x+y & = & 14.
\end{array}$$

Vi kan se at \(y\) allerede er isolert i den første likningen. Så vi isolerer den også i den andre likningen.

$$\begin{array}{rcl}
2x+y & = & 14 \Leftrightarrow\\
y & = & -2x+14.
\end{array}$$

Nå tegner vi de to likningene inn i et koordinatsystem

1-93

Vi kan se at likningene har løsningen

$$x=2,\quad y=10$$

Vi prøver å sette inn i de opprinnelige likningene for å forsikre oss om at vi har regnet riktig. Om vi setter inn løsningen i første likning (\(y = 3x+4\)) får vi

$$\begin{array}{rl}
\mathrm{V}: & 10 = 10 \\
\mathrm{H}: & 3\cdot2+4 = 6+4 = 10.
\end{array}$$

samt for den andre likningen (\(2x+y=14\))

$$\begin{array}{rl}
\mathrm{V}: & 2\cdot 2+10 = 4 + 10 = 14\\
\mathrm{H}: & 14 = 14.
\end{array}$$

La oss se på et annet eksempel. Likningene er

$$\begin{array}{rcl}
2y+2x & = & 2x^2 \\
y-2x & = & 0
\end{array}$$

Vi starter med å isolere \(y\) i den første likningen

$$\begin{array}{rcl}
2y+2x & = & 2x^2 \Leftrightarrow\\
2y & = & 2x^2-2x \Leftrightarrow\\
y & = & x^2-x.
\end{array}$$

og så isolerer vi \(y\) i den andre likningen

$$\begin{array}{rcl}
y-2x & = & 0 \Leftrightarrow\\
y & = & 2x.
\end{array}$$

Nå tegner vi grafene inn i et koordinatsystem

1-79

Vi ser at skjæringspunktene er (0, 0) og (3, 6). Dvs. at en løsning er \(x=0\) og \(y=0\), mens en annen løsning er \(x=3\) og \(y=6\). For å sikre oss at vi har lest det av riktig, prøver vi å sette inn punktene i de opprinnelige likningene.

Først sjekker vi at (0, 0) er en løsning. For begge ligninger skal venstre og høyre side av likhetstegnet gi det samme

$$\begin{array}{rl}
\mathrm{V}: & 2y+2x = 2\cdot0+2\cdot0 = 0 \\
\mathrm{H}: & 2x^2 = 2\cdot0^2 = 2\cdot0 = 0.
\end{array}$$

og

$$\begin{array}{rl}
\mathrm{V}: & y-2x = 0-2\cdot0 = 0\\
\mathrm{H}: & 0 = 0.
\end{array}$$

Da venstre og høyresidene ga det samme i begge likninger, er \(x=0\) og \(y=0\) en løsning. Nå ser vi på den andre løsningen hvor \(x=3\) og \(y=6\)

$$\begin{array}{rl}
\mathrm{V}: & 2y+2x = 2\cdot6+2\cdot3=12+6=18 \\
\mathrm{H}: & 2x^2 = 2\cdot3^2 = 2\cdot9 = 18
\end{array}$$

samt

$$\begin{array}{rl}
\mathrm{V}: & y-2x = 6-2\cdot3 = 0\\
\mathrm{H}: & 0 = 0.
\end{array}$$

Igjen får vi at høyre- og venstresidene stemmer overens med de to likningene.

Har du et spørsmål, du vil stille om Grafisk løsning av to likninger med to ukjente? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!