Andregradslikningen

En andregradslikning er en likning på formen

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0$$

Eksempler på andregradslikninger er

$$\begin{array}{rcl}
x^2-2x-3 & = & 0 \\
2x^2+6x+4 & = & 0 \\
x^2-9 & = & 0.
\end{array}$$

I den første likningen er \(a=1\), \(b=-2\) og \(c=-3\).
I den andre likningen er \(a=2\), \(b=6\) og \(c=4\).
I den tredje likningen er \(a=1\), \(b=0\) og \(c=-9\).

Andregradslikninger har fått sitt navn, fordi de inneholder et ledd hvor \(x\) står i andre potens (\(x^2\)). Vi kaller \(a\) og \(b\) for koeffisientene til hhv \(x^2\) og \(x\), og vi kaller \(c\) for konstantleddet. Det er åpenbart at \(a\) ikke kan være 0, for da ville andregradsleddet (\(ax^2\)) forsvinne, og da ville det være en allminnelig førstegradslikning. Når man skal løse en andregradslikning, kan det være vanskelig å isolere \(x\), som vi er vandt til fra allminnelige førstegradslikninger. Derfor finnes det en løsningsmetode for å finne \(x\), når man har å gjøre med en andregradslikning. Metoden er inndelt i to steg.

Først skal man finne diskriminanten. Diskriminanten betegnes med bokstaven \(d\). Diskriminanten forteller oss, hvor mange løsninger andregradslikningen har.

Hvis \(d\) er positiv (\(d>0\)), har likningen 2 løsninger.
Hvis \(d=0\), har likningen 1 løsning.
Hvis \(d\) er negativ (\(d<0\)), har likningen ingen løsninger.

Man beregner diskriminanten ved formlen

$$d=b^2-4ac$$

For likningen \(2x^2+6x+4=0\) vil diskriminanten være

$$d=6^2-4\cdot2\cdot4=36-32=4.$$

Denne diskriminanten er positiv, og likningen har derfor to løsninger.

Når vi skal finne løsningene, bruker vi formelen

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$$

Tegnet etter \(-b\) skal leses "pluss minus", og det betyr, at vi finner den ene løsningen ved å sette et pluss, og den andre løsningen ved å sette et minus. Hvis vi ser på eksemplet ovenfor, så får vi

$$x=\frac{-6\pm\sqrt{4}}{2\cdot2}=\frac{-6\pm2}{4}=
\begin{cases}
\frac{-6+2}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\ \\
\frac{-6-2}{4}=\frac{-8}{4}=-2
\end{cases}$$

Likningen har altså to løsninger; \(x=-1\) eller \(x=-2\). Vi prøver å sette dem i den opprinnelige likningen for å sjekke, at det virkelig er løsninger.

$$2\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)+4=2-6+4=0$$

$$2\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)+4=8-12+4=0$$

Har du et spørsmål, du vil stille om Andregradslikningen? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!