Volum og overflateareal

I dette kapittelet skal vi se litt nærmere på volumet.  Arealet målte noe 2 dimensjonalt, volumet er et 3dimensjonalt mål. Man kan si at areal er et flatemål, og volumet et rommål.

Å bestemme volumet er det samme som å finne ut av hvor mye som kan være inne i figuren. Når vi har å gjøre med 3-dimensjonale figurer, så har de en overflate, og man kan derfor beregne overflatearealet. I de fleste figurer er det bare å beregne arealet av hver av sidene, men i noen tilfeller er det litt mer komplisert.

Kasse

En kasse, som er sammensatt av rektangler (dvs. alle vinkler er 90 grader) er det lett å beregne volumet av. Man ganger bare lengde, bredde og høyde med hverandre.

$$V=l\cdot b\cdot h$$

1-127

Man kunne også forestilt seg en kasse, hvor endestykkene er parallelogrammer.
I så fall skal man finne arealet av grunnflaten og gange med figurens høyde.

1-128

Her må man huske at kassens høyde (markert med h) skal deles på høyden i parallelogrammet (markert med b) for å kjenne forskjell. Parallelogrammets areal er høyde ganger grunnlinje.

Vi regner altså volumet ut slik:

$$V=\text{grundflade}\cdot \text{højde} $$

$$V= b\cdot g\cdot h$$

Hvis vi har å gjøre med en kasse, hvor grunnflaten var et trapes, ville vi også ganget  kassens høyde med grunnflatens areal for å få volumet.

1-129

Her er arealet av grunnflaten

$$A_{grunnflaten}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot(a_1+a_2)$$

Så volumet blir

$$V=\text{høyde}\cdot \text{grunnflaten}$$

$$V=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\cdot(a_1+a_2)$$

Sylinder

Det er også nyttig å beregne volumet av en sylinder.

1-130

Her skal man gjøre akkurat som over. Først skal man finne arealet av grunnflaten (sirklen) og deretter gange det med sylinderets høyde.

Fra kapittelet om arealer vet vi at en sirkels areal er

$$A_{sirkel}=\pi\cdot r^2$$

Nå kan vi finne volumet av sylinderen

$$V_{sylinder}=h\cdot\pi\cdot r^2$$

Vi finner arealet av den krumme overflaten, O, ved å gange sirkelens omkrets med høyden

$$O=2\cdot\pi\cdot r\cdot h$$

Hvis vi vil ha det samlede overflatearealet, A, inklusiv topp og bunn, skal vi legge arealet av to sirkler til

$$A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi\cdot r^2$$

$$A=2\cdot \pi \cdot r\cdot(h+r)$$

Prisme

Prismen har akkurar som de ovenfor nevnte figurer en høyde og en grunnflate. Grunnflaten er her en trekant.

1-131

$$V=\text{høyde}\cdot \text{grunnflate}$$

$$V_{prisme}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot b\cdot g$$

Kuler

Ovenfor har vi vært innom figurer, som har en grunnflate. Men ikke alle figurer har det. 

1-132

Man beregner kulens volum ved hjelp av formlen

$$V_{kule}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$$

og overflatearealet beregner man slik:

$$A_{kugle}=4\cdot\pi\cdot r^2$$

Kjegle

Volumet av en kjegle er akkurat en tredjedel av en sylinder med samme radius og høyde.

$$V_{kjegle}=\frac{\pi\cdot h\cdot r^2}{3}$$

1-133

Arealet av den krumme overflaten beregnes slik

$$O_{kjegle}=\pi\cdot r\cdot s$$

Det samlede overflatearealet (inkludert bunnen) er derfor

$$A_{kjegle}=\pi\cdot r\cdot s+\pi\cdot r^2 $$

$$A_{kjegle}=\pi\cdot r\cdot(s+r)$$

Pyramide

En pyramide er en figur, som har en grunnflate hvor hver av grunnflatens hjørner er knyttet til et punkt, som ligger over grunnflaten.

Grunnflaten kan eksempelvis være trekantet eller firkantet, som man ser på tegningene, men kan også ha flere kanter (den skal altså være et polygon. Polygon er det greske ordet for mangekant).

37

Det forholder seg likt som med kjeglen, at volumet av en pyramide er en tredjedel av den tilsvarende kassen/prismen. Altså høyden ganget med grunnflatens areal divideret med 3.

$$V_{\mathrm{pyramide}}=\frac{\mathrm{A_{\mathrm{grunnflate}}}\cdot \mathrm{høyde}}{3}$$

Overflatearealet av en pyramide finner man ved å legge grunnflatearealet sammen med de trekantede sideflatenes samlede areal. Du kan finne arealet av en trekant med $$A_{\mathrm{trekant}}=\frac{1}{2}\cdot h_{\mathrm{trekant}}\cdot g$$ Vær oppmerksom på de to forskellige høydene: Pyramidens høyde og trekantens høyde. 

En regulær polygon er en polygon, hvor alle sidene er like lange.

Femkanter

Hvis en pyramide har en regulær polygon som grunnflate, og polygonen har n sider (som alle har lengden g), kan overflatearealet A for pyramiden finnes ved

$$A_{\mathrm{pyramide}}= A_{\mathrm{grunnflate}} + n \cdot \frac{1}{2}\cdot h_{\mathrm{trekant}}\cdot g$$ 

Hvis pyramiden har en irregulær polygon som grunnflate, er man nødt til å regne ut arealet av hver trekant for seg selv og legge alle disse arealene sammen med arealet av grunnflaten.

 

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Volum og overflateareal? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!