Areal

I dette kapittelet vil vi gjennomgå hvordan man beregner arealet av forskellige geometriske figurer. Vi starter med rektanglet og beveger oss deretter videre til andre figurer. For hver av dem gir vi et argument for hvorfor arealformelen ser ut slik som den gjør. 

Rektangelet

Et rektangel er en firkant, hvor alle vinklene er 90º.

1-115

Man finner arealet ved å gange lengden med bredden.

$$A=l\cdot b$$

Et eksempel på dette er at et rektangel med lengde 3 og bredde 2 har areal 6. Dette vises ved denne tegningen

1-116

Rettvinklet trekant

Når vi har med trekanter å gjøre, så betegnes arealet ofte med T.

1-117

Vi finner arealet av en rettvinklet trekant ved å gange de to katetene med hverandre og dividere med to.

$$T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$

Legg merke til at hvis vi kaller b for grunnlinjen, så er a høyden til b. Derfor kan vi også skrive formelen

$$T=\frac{1}{2}\cdot \text{høyde}\cdot \text{grunnlinje}$$

$$T=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g$$

La oss prøve å se på hvorfor formelen ser ut som den gjør. Hvis vi "kopierer" vår rettvinklede trekant, snur kopien på hodet og setter den  oppå den originale, så har vi et rektangel.

1-118

Arealet av to rettvinklede trekanter er altså det samme som arealet av et rektangel (lengde ganger bredde)

$$2T=a\cdot b$$

Vi ganger med en halv på begge sider av likhetstegnet

$$ \frac{1}{\not2}\cdot\not2\cdot T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$

$$T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$

og så nådde vi frem til formelen.

Trekant

Hvis vi har med en vilkårlig trekant å gjøre, så er formelen for arealet den samme

$$T=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g$$

1-119

Grunnen til at formelen ser slik ut er grunnet at høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter.

Vi vet ikke hvor store deler grunnlinjen blir delt i, men hvis vi kaller den lille delen for x, så må den store delen være resten av grunnlinjen (altså grunnlinjen uten x (g-x)).

1-120

Arealet av trekanten må være arealet av den grønne trekanten + arealet av den orange trekanten. Den grønne trekanten har katetene x og h, derfor blir arealet

$$T_\text{grønn}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot x$$

Den orange trekanten har katetene h og (g-x), derfor må arealet være

$$T_\text{orange}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (g-x)=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g-\frac{1}{2}\cdot h\cdot x$$

Når vi legger dem sammen, får vi arealet av hele trekanten.

$$T=\underbrace{\frac{1}{2}\cdot h\cdot x}_{T_\text{grønn}}+\underbrace{\frac{1}{2}\cdot h\cdot g-\frac{1}{2}\cdot h\cdot x}_{T_\text{orange}}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g$$

Og slik når man frem til arealformelen.

Parallellogram

Et parallelogram er en firkant, hvor sidene er parvist parallelle.

1-121

Man finner arealet av parallelogrammet ved å gange høyden med grunnlinjen.

$$A=\text{høyde}\cdot \text{grunnlinje} \\A=h\cdot a$$

Grunnen til at formelen ser slik ut, er at hvis man flytter den blå rettvinklede trekanten fra venstre over til høyre, så har man et rektangel som har arealet lengde ganger bredde, altså a ganger h.

1-122

Trapes

Et trapes er en firkant, hvor to av sidene er parallelle. De parallelle sidene kaller vi a1 og a2. De øvrige sidene kan man kalle b og c, men de er likegyldige når vi skal finne arealet.

1-123

Arealet av et trapes er gitt ved formelen:

$$A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a_1+a_2)$$

Man legger altså de to parallelle sidene sammen, ganger med høyden og dividerer med to.

La oss se hvorfor formelen ser ut som den gjør. Vi kan dele inn trapeset i to trekanter.

1-124

Den orange trekanten har grunnlinjen a2 og høyden h, mens den grønne har grunnlinjen a1 og høyden h.

Altså er deres arealer

$$T_\text{grønn}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_1$$

$$T_\text{orange}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_2$$

Trapesets areal må være summen av de to trekantenes areal.

$$A_{trapes}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_1+\frac{1}{2}\cdot h\cdot a_2$$

Nå setter vi ½h utenfor parentesen.

$$A_{trapes}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a_1+a_2)$$

Og slik når vi frem til formelen.

Sirkel

Den siste figuren vi skal se på, er sirkelen.

1-125

Man finner arealet av en sirkel ved å gange π med radius i andre.

$$A=\pi\cdot r^2$$

Denne formelen er litt vanskeligere å forklare. La oss prøve å dele inn sirkelen i mange små stykker, klippe dem ut, og omforme dem som på figuren nedenfor

1-126

Jo flere stykker vi har delt inn sirklen i, desto mer kommer det til å ligne et rektangel. Hver av stykkene har sidelengden r, så rektangelets bredde blir r.
Rektangelets lengde består av  mange små buer. De svarer totalt til halvdelen av sirkelens omkrets. Vi husker at en sirkels omkrets er 2πr

$$A=l\cdot b=\frac{1}{2}O\cdot r=\frac{1}{2}(2\cdot\pi\cdot r)\cdot r=\pi\cdot r\cdot r=\pi\cdot r^2$$

 

 


 

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Areal? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!