Potensfunksjoner

Den tredje viktige type funksjon (utover lineære og eksponensielle) er potensfunksjonene.

Et eksempel på en potensfunksjon kan være

$$y=5\cdot x^2$$

Og den generelle regelen for en potensfunksjon er

$$y=b\cdot x^a$$

Den kalles en potensfunksjon, fordi den består av en potens (xa) med fast eksponent (a) og variabelt grunntall (x). Utover det, er det en koeffisient, b, som det ganges med.

Potensfunksjonen har den egenskapen, at når x-verdien stiger med en fast prosent, så stiger y-verdien også med en fast prosent. 

Det betyr med andre ord, at når vi ganger vår x-verdi med et tall, k, så skal vi gange vår y-verdi med ka.

Legg merke til hvordan det avskiller seg fra eksponensialfunksjonen, hvor y stiger med en viss prosent, når x stiger med et tall. I potensveksten skal x stige med en prosent og ikke et tall, før y stiger med en bestemt prosent.

1 86

Vi kan se på grafen, at når x vokser med 200% (dvs. vi ganger med 3), så vokser y med 100% (dvs. vi ganger med 2).

Når x=1, og vi stiger 200%, er vi oppe på 3. Og y har steget med 100% (fra 4 til 8)

Når x=5, og vi stiger med 200%, er vi oppe på 15. Og y har steget med 100% (fra 11 til 22).

Uansett hvor vi starter, vil en økning på 200% på x-aksen resultere i at y øker med 100%.

Man kan også utrykke det på en annen måte.

Hvis vi skriver en x-verdi med faktoren Fx så skrives y-verdien med faktoren Fy, og sammenhengen mellom de to faktorene er

$$F_y={F_x}^a\quad\Leftrightarrow\quad F_x=\sqrt[a]{F_y}$$

Hvis vi f.eks. har potensfunksjonen

$$y=5x^2$$

og vil øke vår x-verdi med 20 % (Dvs Fx=1,20), så er

$$F_y={F_x}^a=1,20^2=1,44$$

Dvs. at når x stiger med 20% så vil y stige med 44%

Hvis vi ønsker at y skal stige med 69 % (dvs. Fy=1,69), hvor mange prosent skal vår x da økes med?

$$F_x=\sqrt[a]{F_y}=\sqrt[2]{1,69}=\sqrt{1,69}=1,30$$

Dvs. når y stiger med 69 % så stiger x med 30%.

Betydningen av a

I motsetning til de to andre funksjonstypene, kan grafen for potensfunksjoner se veldig ulike ut. Utseenet avhenger i høy grad av hvilken verdi a har.

1 87

Vi ser, at hvis a er mindre enn 0, vil grafen starte høyt oppe og bevege seg ned langs y-aksen for så å nærme seg 0 og så bevege seg bortover x-aksen. Merk, at den aldri krysser noen av aksene! Funksjonen er altså avtagende.

Hvis a er 0, er funksjonen konstant med y=b.

Hvis a ligger mellom 0 og 1, vil vi ha en voksende graf, som flater mer og mer ut. 

Hvis a er 1, har vi en rett linje (med helningen b). Og sist men ikke minst: hvis a er større enn 1, har vi en graf, som vokser og blir mer og mer bratt.

Når a ligger mellom 0 og 1, er potensfunksjonen faktisk også en "rotfunksjon". Som eks. Er

$$x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$$

Derfor vil en funskjon som

$$y=5x^\frac{1}{3}$$

være det samme som

$$y=5\cdot\sqrt[3]{x}$$

Betydning av b

Ovenfor har vi sett hva tallet a betyr for grafens udseende.

Tallet b sier også noe om hvordan grafen ser ut. Det er nemlig den verdien som er på y-aksen, når x er 1. For å lese av b ut fra en graf skal man altså gå ut av x-aksen til man støter på 1, og deretter gå oppover y-aksen, til man støter på grafen; y-verdien i dette punktet er  b.

1-90

Her ser vi forskjellige potensfunksjoner med samme b-verdi (men helt forskjellige a-verdier).

1-91

Grafen

Noen ganger kan grafen for en potensfunksjon ligne på grafen for en eksponensiell funksjon. Men det er noen tommelfingerregler, som gjør at vi kan se forskjellen.

Når a er større enn 1, ligner grafer på en voksende eksponensialfunksjon. Der hvor de skiller seg er at grafen for en eksponensialfunksjon vil skjære y-aksen i punktet (0,b), mens potensfunksjoners graf kommer helt tett på origo (0,0), men aldri helt vil skjære y-aksen (selvom det på grafen ser slik ut), fordi potensfunksjonen kun er definert for positivie reelle tall. 

Ny Potensvækst Eksp

Man kan også komme til å forveksle grafen for en potensfunksjon med a mindre enn 0 med avtagende eksponensialfunksjoner.

Her skal vi igjen huske at en avtagende eksponensialfunksjon skjærer y-aksen i punktet (0, b), mens en potensfunksjon med a mindre enn 0 aldri skjærer y-aksen.

1 89

Hvis man har noen punkter og vil finne ut om de tilhører en eksponensiell eller potensvekst, kan man tegne dem inn i forskellige koordinatsystemer.

En potensfunksjon vil danne en rett linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, mens en eksponensialfunksjon vil danne en rett linje i et enkeltlogaritmisk (semilogaritmisk) koordinatsystem.

Finn x og y

I en potensfunksjon er y en funksjon av x. Hvis vi kjenner x, kan vi altså sette det inn på høyre side og så finne ut av hva det tilhørende y er.

Hvis vi kjenner til y og gjerne vil bestemme x, skal vi først ha isolert x i uttrykket.

$$y=b\cdot x^a$$

$$\frac{y}{b}=x^a$$

$$\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=x$$

Vi kan altså finne x ved formlen

$$x=\sqrt[a]{\frac{y}{b}}$$

La oss se på et eksempel.

Hvis

$$y=4x^3$$

og vi får vite, at x=2. Så kan vi beregne y ved å sette 2 på x sin plass.

$$y=4x^3=4\cdot2^3=4\cdot8=32$$

y er altså 32.

Hvis vi får vite at y=108, så kan vi beregne x.

$$x=\sqrt[a]{\frac{y}{b}}=\sqrt[3]{\frac{108}{4}}=\sqrt[3]{27}=3$$

Videoleksjon

Har du et spørsmål, du vil stille om Potensfunksjoner? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!