Logaritmer

Hvordan løser vi ligningen

$$10^x=200\:?$$

En måte å løse på er ved å gjøre det grafisk

Logaritmer (1)

Vi kan altså se at løsningen til ligningen er x=2,3.

Det ville vært en god løsning hvis vi kunne regne det ut uten å være nødt til å lese av på en graf.

Det er derfor man har funnet opp logaritmer.

Den eksponenten man skal opphøye 10 til for å få 200 kalles logaritmen til 200

Vi sier

$$\log(200)=2,3 \quad \text{fordi} \quad 200=10^{2,3}$$

Vi kan gjøre det mer generelt:

$$\text{Hvis} \quad y=10^x\quad \text{ så er} \quad\log(y)=x$$

eller sagt på en annen måte

$$\log(10^x)=x$$

Logaritmen til et positivt tall er den eksponenten som 10 skal opphøyes i for å gi tallet.

Her er noen eksempler på hvordan vi finner logaritmen til noen tall.

$$\log(1000)=3\quad fordi\quad 10^3=1000$$

$$\log(100)=2\quad fordi\quad 10^2=100$$

$$\log(10)=1\quad fordi\quad 10^1=10$$

$$\log(1)=0 \quad fordi\quad 10^{0}=1$$

$$\log(0,1)=-1\quad fordi\quad 10^{-1}=0,1$$

$$\log(0,01)=-2\quad fordi\quad 10^{-2}=0,01$$

Og her ser vi hvordan vi finner logaritmen til de første par naturlige tall.

$$\log(1)=0\quad fordi\quad 10^0=1$$

$$\log(2)=0,301\quad fordi\quad 10^{0,301}=2$$

$$\log(3)=0,477\quad fordi\quad 10^{0,477}=3$$

$$\log(4)=0,602\quad fordi\quad 10^{0,602}=4$$

$$\log(5)=0,699\quad fordi\quad 10^{0,699}=5$$

$$\log(6)=0,778\quad fordi\quad 10^{0,778}=6$$

akkurart som vi så at

$$\log(10^x)=x$$

kan vi også vende det om og se at

$$10^{\log(x)}=x$$

Logaritmeregneregler

Når vi regner med logaritmer, er det noen viktige regneregler.

$$1.\quad\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)$$

$$2.\quad\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)$$

$$3.\quad\log(a^x)=x\cdot\log(a)$$

Med ord kan vi si

  1. logaritmer oversetter multiplikasjon til pluss
  2. logaritmer oversetter dividering til minus
  3. når man tar logaritmen til en potens, må man flytte eksponenten ned foran.

Man kan bruke reglene til å omforme uttrykk slik at de blir lettere å regne ut. La oss ta noen eksempler

Hvis vi ønsker at regne ut

$$\log(30)$$

kan vi benytte 1. regel

$$\log(30)=\log(6\cdot5)\stackrel{1.}{=}\log(6)+\log(5)=0,778+0,699=1,477$$

Hvis vi ønsker å beregne

$$\log(0,9)$$

kan vi benytte regel 2 og regel 3, på følgende måte

$$\log(0,9)=\log(\frac{9}{10})\stackrel{2.}{=}\log(9)-\log(10)=\log(3^2)-\log(10)$$

$$\stackrel{3.}{=}2\cdot\log(3)-\log(10)=2\cdot 0,477-1=-0,046$$

I kapittelet om potensfunksjoner, skulle vi regne ut

$$\frac{\log(36)-\log(4)}{\log(3)-\log(1)}$$

Med engang ser det vanskelig ut, men ved å bruke reglene ovenfor kan vi regne det ut uten bruk av kalkulator.

$$\frac{\log(36)-\log(4)}{\log(3)-\log(1)}\stackrel{2.}{=}\frac{\log(\frac{36}{4})}{\log(\frac{3}{1})}=\frac{\log(9)}{\log(3)}=\frac{\log(3^2)}{\log(3)}\stackrel{3.}{=}\frac{2\cdot\log(3)}{\log(3)}=2$$

Nå har vi sett eksempler på hvordan vi kan bruke logaritmeregnereglene. Men hvorfor virker de egentlig? Det spørsmålet besvarer vi her ved å forklare reglene.
For at forstå den første logaritmeregneregelen skal vi huske på tre ting.

$$\log(10^x)=x\\10^{\log(x)}=x$$

samt potensregneregelen:

$$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$$

Nå er vi klare for å forklare den første logaritmeregneregelen.

$$\log(a\cdot b)=\log(10^{\log(a)}\cdot10^{\log(b)})=\log(10^{\log(a)+\log(b)})=\log(a)+\log(b)$$

På samme måte kan vi forklare 2. logaritmeregneregel

$$\log(\frac{a}{b})=\log(\frac{10^{\log(a)}}{10^{\log(b)}})=\log(10^{\log(a)-\log(b)})=\log(a)-\log(b)$$

Til å forklare den tredje regneregelen, skal vi bruke den første.

$$\log(a^x)=\log(\underbrace{a\cdot.\,.\,.\cdot a}_{x\,gange})\stackrel{1.}{=}\underbrace{\log(a)+.\,.\,.+\log(a)}_{x\,gange}=x\cdot\log(a)$$

Den naturlige logaritmen og andre logaritmer

Den allminnelige logaritme kalles ofte for 10tals-logaritmen. Dette skyldes at man skal se hvilken eksponent man skal opphøye 10 til for å få tallet. Vi sier at 10 er grunntallet. Men man kan også forestille seg logaritmer med andre grunntall.

En av de mest anvendte er Den Naturlige Logaritmen. Denne betegnes ofte med ln. Grunntallet i den naturlige logaritmen er Eulers tall.

$$e\approx2,71828$$

For den naturlige logaritmen gjelder altså

$$\text{Hvis}\quad y=e^x\quad \text{så er}\quad \ln(y)=x$$

eller sagt på en annen måte

$$\ln(e^x)=x $$

$$e^{\ln(x)}=x$$

Man kan også bruke andre grunntall enn 10 og e. I disse tilfellene markerer man hvilket grunntall man bruker ved å skrive det med senket skrift etter log. F.eks. ville man skrive 2talls-logaritmen slik:

$$\text{Hvis}\quad y=2^x\quad \text{så er}\quad\log_2(y)=x$$

Man kan gjøre det helt generelt ved å skrive

$$y=a^x\Leftrightarrow \log_a(y)=x$$

Med denne notasjonen kan man skrive den almindelige 10tals-logaritmen som

$$\log_{10}(x)$$

hvilket man også under tiden gjør.

Den naturlige logaritmen kan også skrives

$$\log_e(x)$$

men det gjør man ikke, fordi den naturlige logaritmen har fått sin egen betegnelse ln(x)

BEMERK: 

logaritmeregnereglene gjelder for alle logaritmer uansett grunntallet!

$$1.\quad\log_a(x\cdot y)=\log_a(x)+\log_a(y)$$

$$2.\quad\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)$$

$$3.\quad\log_a(x^y)=y\cdot\log_a(x)$$

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Logaritmer? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!