Lineære funksjoner

Hvis alle punkter på en graf ligger på en rett linje, sier vi at funksjonen er lineær. Dette kunne f.eks. være funksjonen

$$y=x+3$$

Hvis vi sender forskjellige tall inn på x's plass, får vi de tilsvarende y-verdier. Vi kan altså se at x og y er variable, og at y avhenger av x. Derfor sier vi at y er en funksjon av x. Vi kan skrive de forskellige tallparrene inn i en tabell.

x 0 1 3 8 10 100
y 3 4 6 11 13 103

Generelt kan vi si at en lineær funksjon er en funksjon som har forskriften

$$y=ax+b$$

x og y er variable. Men hva betyr tallene a og b?

Tallet a kalles helningskoeffisienten, og tallet b kalles skjæringspunktet med y-aksen.

helningskoeffisienten skal tolkes som så mye y-verdien vokser, hver gang x-verdien vokser med 1.

Hvis helningskoeffisienten er positiv vil funksjonen altså vokse (så grafen starter nede til venstre og beveger seg opp mot høyre), og hvis helningskoeffisienten er negativ, vil funksjonen avta (så grafen starter oppe til venstre og beveger seg ned mod høyre).

Hvis helningskoeffisienten er 0, vil funksjonen hverken vokse eller avta, og grafen vil derfor være parallell med x-aksen.

1 75

Da helningskoeffisienten bestemmes ut i fra, hvor mye y vokser for hvert x, er det mulig å lese av helningskoeffisienten på grafen ved (fra et valgfritt startspunkt) å gå 1 ut på x-aksen og se hvor mye grafen beveger seg oppover.

1 74

På grafen ovenfor kan vi se at man går 2 opp hver gang man beveger seg 1 ut på x-aksen. Derfor er a=2.

b er en konstant, som avgjør hvor grafen skjærer y-aksen. Hvis b er positiv finner skjæringen sted ovenfor origo, og hvis b er negativ er skjæringen plassert under origo. Hvis b=0, skjærer grafen y-aksen i origo. I dette tilfellet skriver man funksjonen som y=ax, og vi kaller det for jevn proposjonalitet.

På bildet ovenfor kan vi lese b ved å se hvor grafen skjærer y-aksen. Denne skjæringen er i punktet (0, -1). Derfor er b= -1

Grafen

Alle lineære funksjoner har grafer, som er rette linjer. Man kan tegne grafen ut fra 2 punkter. Hvis vi f.eks. gjerne vil tegne grafen for y=2x+1, så starter vi med å lage en tabell.

x 1 2 3 4
y 3 5 7 9

Vi velger to punkter, som kan være det første og det siste, og tegner dem inn i et koordinatsystem.

1 76

Nå kan vi tegne en rett linje mellom punktene

1 77

Vi kan se at de øvrige punktene fra tabellen (2, 5) og (3, 7) også ligger på denne linjen.

Til slutt kan vi fortsette linjen ut til både høyre og venstre for å få grafen for y=2x+1

1 78

Har du et spørsmål, du vil stille om Lineære funksjoner? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!