Fordoblings- og halveringskonstant

Når man har å gjøre med en voksende eksponensiell funksjon, så vil den vokse med en fast prosent pr enhet på x-aksen. Etter et visst antall x-enheter vil den ha vokst med 100% - dvs. den er fordoblet. Stykket vi må gå utover x-aksen før verdien er doblet, kaller vi fordoblingskonstanten. Denne betegnes med T2

Grunnen til at det er snakk om en konstant, er fordi udviklingen skjer med en viss prosent, så spiller det ingen rolle hvor vi starter. Man må uansett like langt for at x-aksen skal nå opp 100%.

Det kan virke litt abstrakt, men prøv å se på følgende bilde. Her er fordoblinskonstanten 3. Når vi går fra 0 til 3 på x-aksen, blir y-verdien fordoblet (fra 4 til 8). Når vi går fra 7 til 10 på x-aksen blir y-verdien også fordoblet (fra 20 til 40).

1 82

Men hvordan beregner vi en fordoblingskonstant? La oss ta utgangspunkt i en eksponensialfunksjon, som vokser med 26% for hvert x. Det betyr, at hver gang vi går 1 til siden på x-aksen, så skal vi gange med 1,26 på y-aksen.

Nå spør vi oss selv: Hvor mange ganger skal vi gange med 1,26, før vi når opp til 2 (en fordobling)?

x-stigning y-stigning
\(1\) \(1,26\)
\(2\) \(1,26\cdot1,26=1,5876\)
\(3\) \(1,26\cdot1,26\cdot1,26=2\)

Vi skal altså gå 3 skritt til høyre på x-aksen før vi får fordoblet, og derfor er T2=3. Denne metoden virket kun fordi vår fordoblingskonstant var et helt tall. 

Spørsmålet er: hvor mange ganger skal man gange a med seg selv for å få 2? Eller uttrykt matematisk:

$$a^{T_2}=2$$

For å finne T2 bruker vi logaritmereglene

$$\log(a^{T_2})=\log(2)$$

$$T_2\cdot\log(a)=\log(2)$$

$$T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}$$

Altså kan vi finne fordoblingskontanten med formlen

$$T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}$$

Hvis vår funksjon dermed kalles

$$y=323\cdot1,12^x$$

kan vi beregne fordoblingskontanten som

$$T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}=\frac{\log(2)}{\log(1,12)}\approx6,12$$

Dvs. at uansett hvor vi starter, så vil vår y-verdi bli fordoblet når vi går 6,12 til høyre på x-aksen.

Halveringskonstant

Likt som at de voksende eksponensialfunksjonene har en fordoblingskonstant, så har de avtagende eksponensialfunksjonene en halveringskonstant. Denne betegnes med T½

Her er det også snakk om en konstant, da y-verdien avtar med en fast prosent pr. x, og på et tidspunkt når man ned til 50% av den opprinnelige verdien.

På tegningen er halveringskonstanten 4.

1 83

Når vi går 4 til høyre på x-aksen fra 2 til 6, så blir vår y-verdi halvert fra 7 til 3,5.
Og hvis vi var startet et annet sted f.eks. ved 8 og vi beveger oss 4 til høyre, til 12, så ville vår y-verdi igjen bli halvert. Denne gang fra 2,5 til 1,25.

Uansett hvor vi starter, vil y-verdien halveres ved et 4trinnsskritt på x-aksen. (F.eks. ville vi fra 0 til 4 halvere y-verdien fra 10 til 5).

Akkurat som det fantes en formel for fordoblingskonstanten, så finnes det også en formel for halveringskonstanten. Her stiller man seg selv spørsmålet "hvor mange ganger skal jeg gange a med seg selv for å få ½?".

$$a^{T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$$

Løsningen på denne likningen finner man på samme måte som ved fordoblingskonstanten og er

$$T_\frac{1}{2}=\frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(a)}$$

Hvis vår eksponensielle utvikling avtar med 10% (dvs a=0,90), så er halveringskontanten

$$T_\frac{1}{2}=\frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(a)}=\frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(0,90)}\approx6,58$$

Altså skal man gå 6,58 til høyre på x-aksen for å få halvert y-verdien.

Da eksponensialfunksjoner ofte har å gjøre med utvikling over tid, så kaller man til tider også fordoblingskonstanten for fordoblingstiden og halveringskonstanten for halveringstiden.

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Fordoblings- og halveringskonstant? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!