Eksponentiell utvikling

Hvis du har å gjøre med noe som vokser/avtar med en fast prosent pr. tidsenhet, så er det snakk om eksponensiell utvikling. Et viktig eksempel på eksponentiell utvikling er renteformelen.

Et annet eksempel kan være en slags bakterie som fordobles (stiger med 100%) hver time. Hvis vi starter med å ha 3 bakterier, vil vi etter en time ha

$$3\cdot2=6$$

6 bakterier. Etter to timer vil vi ha

$$6\cdot2=12$$

12 bakterier. Etter tre timer vil vi ha

$$12\cdot2=24$$

24 bakterier, osv...

Legg merke til at vi kan skrive tallene om

$$6=3\cdot2^1$$

$$12=3\cdot2^2$$

$$24=3\cdot2^3$$

Hvis vi kaller antallet bakterier med x antall timer for y, så kan vi skrive at

$$y=3\cdot2^x$$

Dette er et eksempel på en eksponentiell utvikling.

Generelt er eksponentielle utviklinger på formen

$$y=b\cdot a^x,\quad a>0$$

Vi har allerede sett at x og y er variable, hvor y-verdien avhenger av hvilken x-verdi vi setter inn på høyre side. y er altså den avhenige og x den uavhengige variabel.

Men hva er da a og b?

a er en konstant, som kalles fremskrivningsfaktoren. Den forteller noe om hvor mange prosent y vokser eller avtar med for hvert x. Hvis y vokser med r prosent per x har vi nemlig at

$$a=1+r$$

noe som er det samme som å si

$$r=a-1$$

Hvis vi blir fortalt at y vokser med 5 prosent for hvert x, så er

$$a=1+r=1+5\%=1+0,05=1,05$$

Og hvis vi blir fortalt, at y avtar med 7 prosent for hvert x, så er

$$a=1+r=1+(-7\%)=1-0,07=0,93$$

Og hvis vi får vite, at a=1,23, så kan vi finne r slik

$$r=a-1=1,23-1=0,23=23\%$$

Generelt kan vi si, at

Hvis a>1, så er utviklingen voksende

Hvis 0<a<1, så er utviklingen avtagende.

Konstanten b kalles begynnelsesverdien. Det er den verdien vi starter med. I eksemplet med bakteriene ovenfor var b=3.

På en graf kan vi lese av b som skjæringen med y-aksen.

1 80

I dette eksempel kan vi se at b=2,5.

Man kan ikke på samme måte lese av a ved å se på grafen. Men man kan se at hvis a er større enn 1, så vil grafen fyke oppover og hvis a er mindre enn 1 (men større enn null), så vil grafen stupe nedover.

1 81

Bemerk deg at grafen aldri krysser x-aksen

Her er en tabell over hvordan man finner begynnelsesverdi, fremskrivningsfaktor og vekstrate ut i fra forskriften for en eksponentiell utvikling.

Forskrift Begynnelsesverdi (b) Fremskrivningsfaktor (a) Vekstrate/Rentefot (r) Utvikling
\(y=450\cdot1,13^x\) \(450 \) \(1,13 \) \(1,13-1=13\% \) voksende
\(y=217\cdot1,56^x\) \(217 \) \(1,56 \) \(1,56-1=56\% \) voksende
\(y=132\cdot0,81^x\) \(132 \) \(0,81 \) \(0,81-1=-19\% \) avtagende
\(y=1,7\cdot0,1^x\) \(1,7 \) \(0,1 \) \(0,1-1=-90\% \) avtagende
\(y=2,3\cdot5^x\) \(2,3 \) \(5 \) \(5-1=400\% \) voksende

Hvis man tegner grafen for en eksponentiell funksjon i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem (dvs hvor y-skalaen er logaritmisk, og x-skalaen er allminnelig), så får man en rett linje.

Finn x og y

Når vi kjenner x og ønsker å finne det tilhørende y, så kan vi bare sette inn x på høyresiden og så se hvilken y-verdi som kommer ut.

Hvis vi derimot kjenner y og ønsker å finne ut av hvilket x som hører til, så skal vi først ha isolert x. Til det skal vi bl.a. bruke logaritmeregnereglene.

$$y=b\cdot a^x$$

$$\frac{y}{b}=a^x$$

$$\log(\frac{y}{b})=\log(a^x)$$

$$\log(y)-\log(b)=x\cdot\log(a)$$

$$\frac{\log(y)-\log(b)}{\log(a)}=x$$

Nå kan vi bestemme x ved formlen

$$x=\frac{\log(y)-\log(b)}{\log(a)}$$

La oss ta et eksempel.

Hvis vår funksjon er

$$y=5\cdot2^x$$

og vi får vite at x=3, så kan vi finne y slik

$$y=5\cdot2^x=5\cdot2^3=5\cdot8=40$$

Hvis vi derimot får vite, at y=80, så kan vi bestemme x som

$$x=\frac{\log(y)-\log(b)}{\log(a)}=\frac{\log(80)-\log(5)}{\log(2)}=\frac{1,903-0,699}{0,301}=4$$

 

Har du et spørsmål, du vil stille om Eksponentiell utvikling? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!