Høst 2017

Eksamen høst 2017

DEL 1: Uten hjelpemidler

 

Oppgave 1 (2 poeng)

En vare koster 640 kroner. Butikkeieren vurderer å sette opp prisen med 10 % eller 15 %.

a) Hvor mye vil varen koste dersom prisen settes opp med 10 %?

b) Hvor mye vil varen koste dersom prisen settes opp med 15 %?

Svar: 

a) Vi tenker tilbake på det vi vet om prosentregning. Prosentfaktoren av 10% skrives som 0,1. Derson prisen settes opp 10% blir altså den nye prisen: 

$$640*(1+0,1) = 704 kr$$

b) Samme som (a), bare at prisen settes opp 15%. Den nye prisen blir altså:

$$640*(1+0,15)=736kr$$

 

Oppgave 2 (2 poeng)

Skjermbilde 2018-05-11 Kl . 16.36.53

Noah skal gå fra Solsletta til Gråvann. Han lurer på om han skal gå den korteste veien, eller om han skal gå veien om Multemyr. Stiene går langs de stiplede linjene. Se figuren ovenfor.

Hvor mye lenger må han gå dersom han velger å gå veien om Multemyr?

Svar: 

Her må vi tenke på det vi har lært om pythagoras´ læresetting. Vi har hypotenusen og en av katetene, men ønsker å finne lengden på den siste kateten. For ordens skyld kan vi kalle avstanden fra Solsletta til Gråvann for Z og kalle Solsletta til Multemyr for Y. Vi ønsker å finne X, som er hva vi kan kalle avstanden fra Multemyr til Gråvann. Oppsettet blir altså seende slik ut: 

$$Z^2=Y^2+X^2$$

Bytter vi nå ut med det vi allerede vet, får vi: 

$$1000^2=800^2+X^2$$

Ved å flytte på tallene slik at vi får X alene får vi:

$$1000^2-800^2=X^2 \rightarrow (1,000,000-640,000)=X^2$$

Til slutt må vi ta kvadratroten av (1,000,000 - 640,000) for å finne lengden til X

 $$X=\sqrt{1,000,000-640,000} = 600m$$

Ved å ta den lengre ruten, må Noah altså gå $$(800+600)-1000 = 400$$ meter lengre. 

Oppgave 3 (2 poeng)

Et politisk parti har en oppslutning på 40 %. Partiet øker sin oppslutning med 2 prosentpoeng.

Hvor mange prosent øker partiet oppslutningen med?

Svar: 

Partiet får en økning i sin oppslutning på 2 prosentpoeng. Altså øker oppslutningen til totalt 42%. Spørsmålet er hvor mange prosent denne økningen tilsvarer. Det finner vi ut på følgende måte: 

$$\frac{2}{40}= 0,05$$

0,05 er prosentfaktoren. Som vi har lært fra prosentregning, så må vi gange prosentfaktoren med 100 for å finne prosenten. Altså tilsvarer en økning på 2 prosentpoeng: 

$$0,05*100 = 5%$$

 

Oppgave 4 (1 poeng)

I 2016 kostet en vare 6 % mer enn i basisåret.

Hva var prisindeksen for varen i 2016?

Svar:

I et basisår er prisindeksen på 100. 6% mer enn dette tilsvarer altså 

$$100*(1+0,06)=106$$

 

Oppgave 5 (3 poeng)

Kari er baker. Hun har en oppskrift på brød hvor det står at forholdet mellom mel og vann skal være 10 : 7.

a) Hvor mye vann trenger Kari dersom hun skal bruke 50 L mel?

Når Kari baker brød hjemme, bruker hun til sammen 3,4 L mel og vann.

b) Hvor mye mel og hvor mye vann bruker hun?

Svar:

a) Her kan vi brukte det vi vet om prosenter. 7 av 10 tilsvarer det samme som 70% av 100%. For å finne hvor mye vann Kari trenger, når vi vet at hun skal bruke 50 L mel må vi regne ut hva 70% av 50 er. Dette gjør vi veldig enkelt ved å vurdere prosentfaktoren av 70% som er 0,7 og da multiplisere dette tallet med 50. Svaret blir: 

$$50*0,7=35L$$

**Alternativt** sett det opp som en likning med 2 brøker: 

$$\frac{10}{7}=\frac{50}{x} $$

Dette blir 

$$10x=(50*7)$$

$$x=\frac{350}{10}=35L$$

b) Totalt forbruk er 3,4 L mel og vann. Vi har altså 7 deler vann og 10 deler mel som totalt tilsvarer 17 deler. Fordelingen er altså $$\frac{7}{17}\approx 0,412$$ vann og $$1-0,412 = 0,588$$ mel. Disse tallene er våre prosentfaktorer. Ved å gange disse inn med totalt forbruk får vi svarene vi er ute etter. Vann = $$0,412*3,4 = 1,4 L$$ og mel = 3,4 - 1,4 = 2 L 

 

Oppgave 6 (2 poeng) 

Skjermbilde 2018-05-11 Kl . 17.37.03

Ovenfor ser du to parallelle linjer, en sirkel, et parallellogram og en trekant. AB = 8 og CD = 4 . Sirkelen har areal $$9\pi$$

Bestem arealet av parallellogrammet og av trekanten.

Svar: 

Som vi har vært gjennom, så finner vi arealet av en sirkel ved $$A=\pi r^2 = 9\pi$$. Altså må radiusen være 3 og avstanden mellom de parallelle linjene lik 6. Dette utgjør høyden i parallellogrammet og trekanten. 

Areal parallellogram: $$A= g*h = 8*6 = 48$$

Areal trekant: $$A=\frac{g*h}{2}=\frac{4*6}{2}=12$$

 

Oppgave 7 (6 poeng)

Noen venner vil dra på hyttetur. Det koster 3600 kroner å leie hytta en helg. Vennene skal dele utgiftene for leie av hytta likt mellom seg. I tillegg må hver person betale 1300 kroner for mat og transport.

a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Fyll inn tallene som mangler.

Skjermbilde 2018-05-11 Kl . 18.02.37

b) Bestem en formel som du kan bruke for å regne ut utgiftene U per person dersom x personer deltar.

c) Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange personer som må delta for at utgiftene per person skal bli 1600 kroner.

d) Er antall personer og utgiftene per person omvendt proporsjonale størrelser? Begrunn svaret ditt.

Svar: 

a) Leieprisen ligger på 3600 kr for helgen. Denne endres ikke. Det som endrer seg i takt med antall personer er mat og transport. Altså vil det for en reise med 2 personer koste (3600+1300*2)/2 = 3100 kr. Dette endrer vi i takt med antall personer som drar på tur, og tabellen blir seende slik ut: 

Skjermbilde 2018-05-11 Kl . 18.08.14

 

b) En formel vi kan bruke for å regne ut kostnad per person er: 

$$U(x)=1300+\frac{3600}{x}$$

c) Vi er interessert i å finne antallet som må delta for at U(x) = 1600 kr. Da bruker vi bare formelen fra (b): 

$$1600=1300+\frac{3600}{x} $$

$$1600x=1300x+3600$$

$$300x=3600 \rightarrow x=\frac{3600}{300}\rightarrow x=12$$

Det er altså 12 som må delta for å betale 1600 kr per person. 

d) Omvendt proposjonale størrelser handler om at utgiftene halveres når antallet fordobles. Dette er ikke situasjonen i dette problemet. Det kan derfor konkluderes i at dette ikke er omvendte proposjonale størrelser. 

 

Oppgave 8 (3 poeng)

Ved en skole er det to Vg2-klasser, 2A og 2B. Det er like mange elever i hver klasse. Alle elevene i 2A har valgt biologi. Halvparten av elevene i 2B har valgt biologi.

a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 har valgt biologi.

b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 som har valgt biologi, går i klasse 2A.

 Svar: 

a) Vi har 2 klasser med like mange elever. Altså er det totale antallet elever i begge klassene 100% av elevene det er snakk om. En klasse tilsvarer altså 50%. Vi får vite at alle elevene i 2A har valgt biologi(altså 50% av totalt antall). Vi får også vite at halvparten av elevene i 2B har valgt biologi(altså 25% av totalt antall). Ut ifra begge klassene har altså 75% valgt  biologi, og sansynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt biologi er 75%. 

b) Vi vurderer svaret fra (a). Det er $$\frac{3}{4}$$ som har valgt biologi. $$\frac{2}{3}$$ av disse 75% går i 2A. Altså er sansynligheten $$\frac{2}{3}\approx 0,67$$ som altså er 67 %. 

 

Oppgave 9 (3 poeng)

Noen elever vil selge vafler for å samle inn penger til en skoletur. De kjøper inn litt utstyr og nødvendige ingredienser slik at de kan lage 120 vaffelplater.

Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom antall vaffelplater de får solgt, og overskuddet de vil få fra salget.

Skjermbilde 2018-05-11 Kl . 18.35.45

a) Den rette linjen starter i punktet (0, -450)  og går gjennom punktet (30,0) . Hvilken praktisk informasjon gir dette?

b) Hvor mye vil elevene ta betalt for hver vaffelplate?

c) Vis hvordan du kan regne ut hvor stort overskuddet blir dersom elevene får solgt alle vaffelplatene. Hvor stort blir overskuddet?

Svar: 

a) Det betyr at de har investert 450 kroner i nødvendig utstyr og at de må selge 30 vaffelplater for å gå i null. Vi ser dette forklart utifra krysningspunktene på den ovenstående grafen. 

b) Vi vet kostnader fra start, og vi vet antallet de må selge for å gå i 0. Den respektive prisen per vaffel blir altså: $$\frac{450}{30}=15kr$$

c)$$O(x)=15x-450\rightarrow 15*120-450=1350kr$$

 

DEL 2: Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng)

Antall tusen artikler i den engelske utgaven av Wikipedia x år etter 1. januar 2002 er tilnærmet gitt ved funksjonen f der

$$f(x)=-2,34x^3+50x^2+129x+19,7 \rightarrow 0\leq x\leq 15$$

a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f for $$0\leq x\leq 15$$.

b) Når passerte antall artikler 4 000 000, ifølge funksjonen?

Svar: 

a) Skjermbilde 2018-05-11 Kl . 19.07.50

Vi finner denne grafen ved å plotte verdiene inn i geogebra som vi har lært i kursene om P1.

b) Vi ser at det tok rundt 10 år før antall artikler passerte 4,000,000 (nedjustert 4000 på graf). 

 

Oppgave 2 (2 poeng)

På et kart er en avstand 2,4 cm. I virkeligheten er den samme avstanden 4,8 mil.

Bestem målestokken til kartet.

Svar: 

Vi må starte med å gjøre avstandene om til samme målenhet. La oss gjøre 4,8 mil om til cm. $$4,8mil=48km=48,000m=4,800,000cm$$

$$\frac{4,800,000cm}{2.4cm}=2,000,000cm$$

Målestokken er altså 1:2,000,000.

 

Oppgave 3 (2 poeng)

En hermetikkboks har form som en sylinder med radius 10 cm og høyde 10 cm. En kule har radius 10 cm.

Bestem forholdet mellom overflaten av hermetikkboksen og overflaten av kula.

 Svar: 

$$\frac{O_{sylinder}}{O_{kule}}$$

Vi husker at formelen for sylinder og kule er

$$\frac{2\pi r^2+2\pi r*h}{4\pi r^2}$$

$$h=r$$

$$\frac{2\pi r^2+2\pi r*r}{4\pi r^2}$$

$$\frac{4\pi r^2}{4\pi r^2}=1$$

 

Oppgave 4 (3 poeng)

Basisåret for konsumprisindeksen er nå 2015. Tidligere var basisåret 1998. Da 1998 ble brukt som basisår, var konsumprisindeksen 139,8 i 2015 og 144,8 i 2016.

a) Vis at konsumprisindeksen i 1998 nå er 71,5.

b) Hva er nå konsumprisinndeksen i 2016? 

Svar: 

a) $$\frac{100}{139,8}=\frac{x}{100}$$

$$x=\frac{100000}{139,8}=71,53$$ 

b) 100 forholder seg til 144,8 som 71,5 forholder seg til x som er konsumprisindeksen i 2016. 

$$\frac{100}{71,5}=\frac{144,8}{x}\rightarrow 100x=144,8*71,5\rightarrow x=\frac{144,8*71,5}{100}=103,5$$

 

Oppgave 5 (2 poeng)

I 2010 var konsumprisindeksen 92,1. I 2014 var konsumprisindeksen 97,9.

Helene hadde like stor kjøpekraft i 2014 som i 2010.

I 2014 hadde hun en nominell lønn på 540 000 kroner. Hva var den nominelle lønna hennes i 2010?

Svar: 

Nominell lønn i 2010: 

$$\frac{x}{92,1}=\frac{540000}{97,9}\rightarrow x=\frac{540000}{97,9}*92,1=508008,17kr$$

 

 Oppgave 6 (2 poeng)

Prisen for en vare er endret fem ganger. To ganger er den satt ned med 30 %. Tre ganger er den satt opp med 20 %. Nå koster varen 2646 kroner.

Hva kostet varen før prisendringene?

Svar:

Man må her vurdere prosentfaktoren, og regne ut i fra det.

$$x*0,7^2*1,2^3=2646\rightarrow x=\frac{2646}{0,7^2*1,2^3}=3125kr$$

Varen koster altså 3125 kr før prisendringene. 

 

Oppgave 7 (4 poeng) 

I en eske ligger det tre hvite og ni røde julekuler. Én av de hvite og fire av de røde kulene er ødelagt.

Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig fra esken.

a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å ta to kuler som ikke er ødelagt.

b) Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene du kommer til å ta, er ødelagt.

Svar: 

a) Ut i fra spørsmålene, så vet vi at farger ikke har noe å si. Vi skal ha sansynligheten for at to tilfeldige kuler ikke er ødelagt. 

$$P(_{fine})=\frac{7}{12}*\frac{6}{11}=\frac{42}{132}=\frac{7}{22}$$

b) Sansynligheten for at minst en av kulene er ødelagt er alle utfall annet enn det vi regnet ut i (a). Altså blir svaret: $$P(_{Minst 1ufin})=1-\frac{7}{22}=\frac{15}{22}$$

 

Oppgave 8 (5 poeng)

Skjermbilde 2018-05-12 Kl . 18.58.54

 Anders hadde en trekloss med form som et rett firkantet prisme. Han fikk skåret bort en del av klossen slik at den ene kanten ble avrundet. Se figuren ovenfor. Buen er en sirkelbue med radius 6,0 cm.

a) Bestem volumet av treklossen.

b) Bestem overflaten av treklossen.

Svar:

a) Vi deler volumet opp i tre deler: 

$$V=12*6*36+6*6*36+\frac{1}{4}\pi*6^2=4905,9 cm^3=4,9Liter$$

b) Vi skal her bestemme overflaten av treklossen. Den finner vi på følgende vis: 

Endestykker: $$O=\frac{1}{2}\pi6^2+2*12*6+6*6*2=272,55$$

Sideflater: $$O=2*12*36+2*6*36+\frac{1}{4}*2\pi*6*36=864+432+339,3=1635,3$$

Alle ovenstående tall er i cm. 

Når vi nå legger sammen sideflater og endestykker får vi $$1907,9 cm^2 $$

 

Oppgave 9 (6 poeng)

Per har deltidsjobb i en matvarebutikk. Han er ikke sikker på hvor mye han kommer til å tjene i løpet av 2017. Han kan velge mellom to alternative skattetrekk.

Skjermbilde 2018-05-12 Kl . 19.01.27

Anta at Per kommer til å tjene 60 000 kr i 2017.

a) Bestem Pers nettolønn med hvert av alternativene ovenfor.

Per ønsker å lage en oversikt i et regneark for å finne ut hvor mye han vil få i nettolønn ved ulike inntekter etter de to alternativene ovenfor. I regnearket nedenfor har vi lagt inn ulike mulige inntekter for Per i 2017. 

Skjermbilde 2018-05-12 Kl . 19.02.24

b) Lag et regneark som vist ovenfor. Du skal sette inn formler i de blå cellene og beregne skattetrekk og nettolønn.

c) Hvor mye må Per tjene for at de to alternativene skal gi nøyaktig like stort skattetrekk?

Svar:

a)

Pers nettolønn ved alternativ 1: Han trekkes 50% av 5000 kroner og nettolønna blir da 57 500 kroner.

Alternativ 2: Han trekkes 10% av hele beløpet, altså av 60 000 kroner. Det er 6000 kroner. Da får han en nettolønn på 54 000 kroner.

b) Ved regnearket bruker vi det vi har lært fra excel i P1. Det ser slik ut: 

Skjermbilde 2018-05-12 Kl . 19.04.07

 

Formelene i excel ser slik ut: 

Skjermbilde 2018-05-12 Kl . 19.04.14

c) Hvis Per skal ha likt skattetrekk på begge alternativene, må han ha en lønn lik x kr. 

$$(x-55,000)*0.5=0.1*x$$

$$0.5x-0.1x=27,500\rightarrow x=\frac{27,500}{0,4}=68,750kr$$

For å få likt skattetrekk på begge alternativene må Per altså tjene 68,750 kr. 

 

Oppgave 10 (6 poeng)

Skjermbilde 2018-05-13 Kl . 13.38.23Gitt figuren ovenfor. 

- Den blå linjen er grafen til funksjonen f , og den røde linjen er grafen til funksjonen g.

- Linjene skjærer hverandre i punktet A.

- Punktet B ligger på grafen til g , og punktet C ligger på grafen til f .

- Punktet D ligger på BC , og BC er parallell med y - aksen.

a) Forklar at ADC og ABD er formlike.

Funksjonen f er gitt ved $$f(x)=2x-4 og AD=1$$

b) Vis at BD = 0,5

Funksjonen g er gitt ved $$g(x)=ax+b $$ og $$g(0)=3,5$$

c) Bestem a og b .

Svar:

a) ABC og ADC er formlike fordi begge trekantene har en felles vinkel, og en vinkel er 90 grader i begge trekantene. Da er den tredje vinkelen også lik. ABC og ABD er formlike av samme grunn. Da må ADC og ABD også være formlike.

b) Stigningstallet til f(x) er 2. Siden AD = 1 må da CD = 2:

$$\frac{CD}{AD}=\frac{AD}{BD}$$

$$\frac{2}{1}=\frac{1}{BD}\rightarrow BD=\frac{1}{2}$$

c) g (0) = 3,5, dvs. b = 3,5

I oppgave b fant vi at stigningstallet er - 0,5.

g(x) = -0,5x + 3,5

Har du et spørsmål, du vil stille om Høst 2017? Send oss en mail!
Har du en kommentar til innholdet på denne siden? Send oss en mail!